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关于强跟踪滤波基本理论及计算推导
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2024-04-22
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73页
称一个滤波器为强跟踪滤波器(Strong Tracking Filter,STF),若它与通常的滤波器 相比,具有以下优良的特性: 1)较强的关于模型不确定性的鲁棒性。 2)极强的关于突变状态的跟踪能力。甚至在系统达平稳状态时,仍保持对缓变 状态与突变状态的跟踪能力。 3)适中的计算复杂性。 显然,特性 1)和 2) 就是为了克服 EKF 的上述两大缺陷而提出来的。特性 3) 是 为了使得 STF 便于实时应用。
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3.2.9 强跟踪滤波基本理论
本小节引入自 1990 年以来发展起来的一个有强跟踪滤波器理论
[2-3]
。
考虑如下一大类非线性系统的状态估计问题
)()())(), kwkk(,()1( kkk
+
=+
ufx
Γ
x
)1())1(,
(3.2.9.1)
1()1(
+
+
=+ kk
hz
+
+
kvk
x
(3.2.9.2)
k
其中,整数
≥ 0 )( ∈ Rk
x
1
)(
×
∈
l
Rk
u
×p
1×××
→×
nnl
RRR
为离散时间变量, 为状态向量, 为输入向量,
为输出向量。 非线性函数
1×n
1
)( ∈ Rk
z
11
:
f
, 具有关于状态的
一阶连续偏导数。
11
:
××
→
pn
RR
h
qn
R
×
∈Γ
1 1
)(
×
∈
p
Rk
v
0)}({,0
为已知的矩阵。系统噪声 和测量噪声 匀
是高斯白噪声,并具有如下的统计特性
)(
×
∈
p
Rk
w
)}({
=
=
kvE
jk
T
kjw
,
)()}(
δQ
=
kwE
(3.2.9.3)
(3.2.9.4)
kwE )({
(3.2.9.5)
jk
T
kjv
,
)()}(
δR
=
0)}()({ =jvk
T
w
(k
R
(k
x
(0
0
)}0({
xx
=E
00
}])0(
Pxx
=−
T
x
)(),( kvk
w
) 1 +k ( ) 1 +k (
kvE )({
(3.2.9.6)
E
其中,
)
为对称的非负定阵,
)
为对称正定阵。
Q
初始状态
)
为高斯分布的随机向量,且满足统计特性
(3.2.9.7)
(3.2.9.8)
0
][)0({[
xx
−E
并且有 与 统计独立。
()0
系统(3.2.9.1)-(3.2.9.2)的状态估计问题可以首先选择在 3.2.7 节引入的扩展 Kalman
滤波器(Extended Kalman Filter—— EKF)进行解决
+ )k | 1 +k (
ˆ
= ) 1 +k | 1 +k (
ˆ
γ
K
) 1 | k
xx
(3.2.9.9)
其中, 为状态的一步预报值。
(
ˆ
k +
x
(3.2.9.10)
)) (
ˆ
, ) ( , k | kku
x
1
)]1())|
))|1(
ˆ
,1())[
−
++
++
kk
kkk
R
xH
)()()())|( kkkkk
T
ΓΓ+
Q
)|1())]|1 kkk
( = )k | 1 +k (
ˆ
kf
x
增益阵
(3.2.9.11)
1(
ˆ
,1()|1(
|1(
ˆ
,1()|1()1(
+++×
+++=+
kkkk
kkkkkk
T
T
xHP
xHPK
预报误差协方差阵
(3.2.9.12)
ˆ
),(,()|())|(
ˆ
),(,()|1( kkkkkkkkkk
T
=+
xuFPxuFP
状态估计误差协方差阵
(
ˆ
,1()1([)1|1( kkkIkk
+
P
))|1(
ˆ
,1( kkk
(3.2.9.13)
+
+
+−
=
++
xHKP
残差序列
)1()1(
ˆ
)1()1( kkykyk
+
+
xh
(3.2.9.14)
−
+
=
+−+
=
+γ
y
式(3.2.9.11)中
)|1(
ˆ
)1( kkk +=+
xx
))1(,1(
))|1(
ˆ
,1(
kk
kkkH
∂
++∂
=++
x
xh
x
(3.2.9.15)
式(3.2.9.12)中
)|(
ˆ
)(
))(
kkk
k
xx
x
=
)1
)|1())|1(
ˆ
, ++ kkkk
Px
),(,(
))|(
ˆ
),(,(
kk
kkkukF
x
uf
x
=
∂
∂
(3.2.9.16)
式(3.2.9.9)—(3.2.9.16)就是著名的扩展 Kalman 滤波器的递推公式。此时输出残差
序列的协方差阵为
())|1(
ˆ
,1(
1()]1()1([)1(
0
++++×
+≈++=+
kkkk
kkkEk
T
T
RxH
H
V
γγ
(3.2.9.17)
当系统模型(3.2.9.1)-(3.2.9.2)具有足够的精度,并且滤波器的初始值
)
选
择得当时,上述的 EKF 可以给出比较准确的状态估计值
)
$
(|), (|
x
00 00P
x
kk
$
(|
+11
。
+
然而,通常的情况是,系统模型(3.2.9.1)-(3.2.9.2)具有模型不确定性,即此模型与
其所描述的非线性系统不能完全匹配,造成模型不确定性的主要原因有:
1)
模型简化
。对于比较复杂的系统,若要精确描述其行为,通常需要较高维数的
状态变量,甚至无穷维的变量。这对系统状态的重构造成了极大不便。因此,通常
人们都要使用模型简化的办法,使用较少的状态变量来描述系统的主要特征,忽略
掉实际系统某些较不重要的因素。也就是存在所谓的未建模动态。这些未建模动态
在某些特殊条件下有可能被激发起来,造成模型与实际系统之间较大的不匹配
[2-3]
。
2)
噪声统计特性不准确
。即所建模型的噪声统计特性与实际过程噪声的统计特性
有较大差异。所建模型噪声的统计特性一般过于理想。实际系统在运行过程中,可
能会受到强电磁干扰等随机因素的影响,造成实际系统的统计特性发生较大的变动。
3)
对实际系统初始状态的统计特性建模不准
。
4)
实际系统的参数发生变动
。由于实际系统部件老化、损坏等原因,使得系统的
参数发生变动(缓变或突变),造成原模型与实际系统不匹配。
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玉树临风的玉
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