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兰州大学土木工程与力学学院 姓名:张风顺 学号:320170930401
一、 调查问卷
1. 是否了解计算力学?
不完全了解
2. 是否会编写计算机程序?
是
3. 掌握几门计算机编程语言、或软件,分别是?
C 语言、Fortran、python、visual basic
matlab、maple、abaqus、solidworks、cad
4. 你对计算力学的理解?
我理解的计算力学就是找数值解,用数值的方法去解决一些很难求得解析解的力学问题。
5.
你对计算力学课程学习的期望?
希望通过计算力学课程的学习能够掌握基本的知识点以及应用计算力学方法解决力学
问题的思维方式。之前,我在世界计算力学大会 2020 某个分会场的征稿通知里头看到了一
些 CFD 与 AI 交叉方面的研讨主题,希望能够在学习计算力学的过程中,找一找机器学习能
够解决的一些问题。
二、 力学问题
在一根长度为 l,截面半径为 r 的金属棒上以某一角度 phi 斜绕宽度为 a 的超导带材,
然后以力 F 轴向拉伸或者给个弯矩 M 是它发生弯曲,求该结构任意一点的应力状态。
兰州大学土木工程与力学学院 姓名:张风顺 学号:320170930401
作业 1 用差分法解边值问题
()
(
)
=
()
(
0
)
= 0,
(
1
)
= 1
, (0<x<1)
解:
(1)离散定义域:
令
= · ,( i=0,1,2,· · · ·, n)其中,=
表示步长。
(2)差分方程:
将单变量二阶函数的有限差分公式代入原方程得到差分方程如下:
2
+
=
(
)
,
(
)
=
+ sin ()
1 +
其中,i 取 1,2,3,· · · · · · ,n。将上式整理得到:
(
2 +
)
+
=
(
)
, = 1,2,3,· · · · ·, 1
(3)边界条件:
由
(
0
)
= 0得到:
= 0; 由
(
1
)
= 1得到:
= 1.
(4)代数方程:
将差分方程联立可得到非齐次线性代数方程如下:
(2 + )
1 0
1 (2 + )
1
0 1 (2 + )
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
(2 + )
1
1 (2 + )
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(5)解代数方程:
以 n=10 为例,利用 Fortran 编写的追赶法程序求得该方程的解为:
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
u(x)
0.0728
0.1487
0.2261
0.3079
0.3960
0.4923
0.5988
0.7176
0.8506
程序源代码详情见附件。
(6)解的评估:
起初,我用纯纯的高斯消元法去解线性方程组,发现最后的解不收敛(见图一)。通过
调试,发现这里应用高斯消元法存在“大数吃小数”的问题。于是,我把程序改成列主消元
法,并分别将系数矩阵化成上三角和对角阵两种方法去算,但发现还是存在一些问题。如图
二所示,采用“列主消元化上三角”的解虽然收敛但跟 matlab 软件(图五)解出来的结果
相差很大。而图三所示,采用“列主消元化对角”的解只有在 n=3、4 时与软件的解相似。
最后如图四所示,我采用追赶法得到的解既收敛又和数学软件的解相近。
兰州大学土木工程与力学学院 姓名:张风顺 学号:320170930401
图五:Matlab 计算结果
兰州大学土木工程与力学学院 姓名:张风顺 学号:320170930401
作业 2 推导单变量函数 u(x)三阶导数的有限差分公式
根据泰勒展开式得到:
(1)
=
+
!
(
)
+
()
!
(
)
+
()
!
(
)
+
()
!
(
)
+ (()
)
(2)
=
+
!
(
)
+
!
(
)
+
!
(
)
+
!
(
)
+ (
)
(3)
=
!
(
)
+
!
(
)
!
(
)
+
!
(
)
(
)
(4)
=
!
(
)
+
(
)
!
(
)
(
)
!
(
)
+
(
)
!
(
)
(()
)
将(2)、(3)两式相减得到:
(5)
= 2
!
(
)
+ 2
!
(
)
+ 2(
)
将(1)、(4)两式相减得到:
(6)
= 2
!
(
)
+ 2
(
)
!
(
)
+ 2((2)
)
将 (6)式减去(5)式的两倍得到:
(7)
2
+ 2
= 2
!
(
)
+ (
)
整理得到:
(
)
=
2
+ 2
2
(
)
学院:土木工程与力学学院 姓名:张风顺 学号:320170930401
作业 1 求地基梁的挠度、弯矩和地基反力
1.求解析解的方法
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