实验五-使用matlab实现卷积的运算.doc

### 使用MATLAB实现卷积运算的知识点解析 #### 一、实验目的 1. **学习MATLAB语言的编程方法及熟悉MATLAB指令**：通过实际操作掌握MATLAB的基本语法和常用函数，例如如何定义变量、如何使用绘图命令等。 2. **深刻理解卷积运算**：理解卷积的基本概念及其在信号处理中的应用，特别是如何利用离散卷积来近似连续卷积。 #### 二、实验内容详解 1. **完成两个函数的卷积运算**： - 给定函数\(f_1(t) = e^{-2t} u(t)\)和\(f_2(t) = u(t) - u(t-4)\)，其中\(u(t)\)是单位阶跃函数。 - 使用MATLAB中的`conv`函数计算这两个函数的卷积\(f(t) = f_1(t) * f_2(t)\)。 - 在一个图形窗口中绘制三个函数的图形，并确保每个坐标系都有标题和坐标轴名称。 ```matlab p = 0.1; t = 0:p:10; f1 = exp(-2*t).*u(t); f2 = u(t) - u(t-4); f = conv(f1, f2); subplot(1,3,1); plot(t, f1, 'r'); title('f1(t) = e^{-2t}u(t)'); xlabel('t(sec)'); ylabel('f1(t)'); subplot(1,3,2); plot(t, f2, 'g'); title('f2(t) = u(t) - u(t-4)'); xlabel('t(sec)'); ylabel('f2(t)'); subplot(1,3,3); plot(f); title('f(t) = f1(t) * f2(t)'); xlabel('t(sec)'); ylabel('f(t)'); ``` 2. **计算系统的零状态响应**： - 给定系统模型为\(\ddot{y}(t) + 4\dot{y}(t) + 4y(t) = 3\dot{f}(t) + f(t)\)，其中\(f(t) = e^{-t}u(t)\)。 - 首先将系统方程转换为传递函数的形式，然后使用MATLAB中的`tf`函数定义传递函数。 - 使用`lsim`函数计算零状态响应，并绘制波形。 ```matlab a = [1 4 4]; b = [1 3]; sys = tf(b, a); td = 0.01; t = 0:td:10; f = exp(-t).*u(t); y = lsim(sys, f, t); plot(t, y); xlabel('t(sec)'); ylabel('y(t)'); ``` - 此外，还需要单独绘制输入波形图\(f(t)\)。 #### 三、实验原理 1. **离散卷积和**：在MATLAB中，使用`conv()`函数可以计算两个序列的离散卷积和。对于两个离散序列\(f_1(k)\)和\(f_2(k)\)，其离散卷积和\(S(k)\)定义为：\[S(k) = \sum_{i=-\infty}^{\infty} f_1(i) f_2(k-i)\]。需要注意的是，`conv`函数只能给出序列值的大小，而不能直接给出卷积的X轴序号。 - **非零区间的确定**：对于两个序列\(f_1(k)\)和\(f_2(k)\)分别在\(n_1\)到\(n_2\)和\(m_1\)到\(m_2\)区间内非零，其长度分别为\(L_1 = n_2 - n_1 + 1\)和\(L_2 = m_2 - m_1 + 1\)，则卷积结果\(S(k)\)的非零区间从\(n_1 + m_1\)开始，长度为\(L = L_1 + L_2 - 1\)，即从\(n_1 + m_1\)到\(n_1 + m_1 + L - 1\)。 2. **连续卷积与离散卷积的关系**：计算机处理信号时，通常使用离散信号来近似连续信号。如果输入信号为\(f(t)\)，则其可以通过一系列脉冲函数的线性组合来近似，即：\[f(t) \approx \sum_{k=-\infty}^{\infty} P_k(t - kT)\]，其中\(P_k(t)\)表示脉冲函数，\(T\)为采样周期。对于线性时不变系统(LTI)，其输出可表示为：\[y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) f(t - \tau) d\tau\]。在离散化过程中，可以将连续积分转换为离散求和：\[y[k] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n] f[k - n]\]。随着采样周期\(T\)趋近于0，离散卷积结果将越来越接近连续卷积的结果。