最优二分图问题的模版

### 最优二分图匹配问题解析 #### 一、引言 最优二分图匹配问题在计算机科学领域中属于一个非常重要的课题，特别是在算法设计与分析方面有着广泛的应用。二分图是一种特殊的图结构，其顶点可以被分为两个互不相交的集合，且所有的边都是连接两个不同集合中的顶点。最优匹配问题则是指在一个二分图中找到最大的匹配（即没有共享顶点的一组边），使得这些边的权重之和最大。 #### 二、问题定义与背景 给定一个二分图 \( G=(V,E) \)，其中 \( V \) 表示顶点集，\( E \) 表示边集。\( V \) 可以被划分为两个互不相交的子集 \( V_1 \) 和 \( V_2 \)。对于每个边 \( (u,v) \in E \)，都有一个非负权重 \( w(u,v) \)。最优匹配问题的目标是在这个二分图中寻找一个匹配 \( M \)，使得 \( M \) 中的所有边的权重之和最大化。 #### 三、算法原理 为了求解最优匹配问题，我们可以采用增广路径法。该方法基于匈牙利算法的思想，通过不断寻找增广路径来增加匹配的大小，直到无法再找到新的增广路径为止。 #### 四、实现细节 给定的代码片段展示了如何实现一个简单的最优匹配算法： ```cpp #include<iostream.h> #include<memory.h> #include<math.h> const int MAX = 100; int map[MAX][MAX]; int match[MAX], n, lx[MAX], ly[MAX]; bool x[MAX], y[MAX]; bool dfs(int v) { int i, t; x[v] = true; for(i = 0; i < n; i++) if(!y[i] && lx[v] + ly[i] == map[v][i]){ y[i] = true; t = match[i]; match[i] = v; if(t == -1 || dfs(t)) return true; match[i] = t; } return false; } int toMatch() { int i, j; for(i = 0; i < n; i++){ lx[i] = -0x1FFFFFFF; ly[i] = 0; for(j = 0; j < n; j++){ if(lx[i] < map[i][j]) lx[i] = map[i][j]; } } memset(match, -1, sizeof(match)); for(int k = 0; k < n; k++) while(1){ memset(x, 0, sizeof(x)); memset(y, 0, sizeof(y)); if(dfs(k)) break; int dx = 0x7FFFFFFF; for(i = 0; i < n; i++){ if(x[i]) for(j = 0; j < n; j++) if(!y[j] && dx > (lx[i] + ly[j] - map[i][j])) dx = lx[i] + ly[j] - map[i][j]; } for(i = 0; i < n; i++){ if(x[i]) lx[i] -= dx; if(y[i]) ly[i] += dx; } } return 0; } ``` #### 五、代码解读 1. **全局变量声明**：首先定义了一些全局变量，包括图的邻接矩阵 `map`、左部顶点的最大权值 `lx`、右部顶点的最大权值 `ly`、匹配数组 `match` 和两个布尔数组 `x` 和 `y` 用于记录顶点是否被访问。 2. **深度优先搜索** (`dfs`)：此函数用于寻找一条从顶点 `v` 开始的增广路径。如果找到了这样的路径，则更新匹配状态并返回 `true`；否则返回 `false`。 3. **匹配计算** (`toMatch`)：这是主函数，用于执行整个匹配过程。它首先初始化 `lx` 和 `ly` 数组，然后对每一个顶点调用 `dfs` 函数来寻找增广路径。 #### 六、算法流程 1. 初始化 `lx` 和 `ly` 数组，`lx` 存储每个左部顶点的最大权重，而 `ly` 全部初始化为零。 2. 对于每个顶点，调用 `dfs` 函数尝试构建增广路径。 3. 如果 `dfs` 成功找到增广路径，则更新匹配状态。 4. 如果 `dfs` 失败，调整松弛条件继续寻找增广路径。 5. 当所有顶点都已尝试过之后，算法结束。 #### 七、总结 最优二分图匹配问题是组合优化中的一个经典问题，在实际应用中具有重要意义。通过上述算法，我们可以有效地解决这个问题，并找到一个最优匹配。理解该算法的核心思想和实现细节有助于我们更好地掌握此类问题的求解方法。