二分图和平面图是图论中的两个重要概念，它们在计算机科学中有着广泛的应用，尤其是在数据结构和算法设计中。
二分图是一种特殊的无向图，它的节点可以被划分为两个互不相交的子集X和Y，使得图中的每条边连接的两个节点分别属于不同的子集。换句话说，不存在任何一条边连接X集合内的两个节点或Y集合内的两个节点。二分图的定义可以用数学符号表示为G=<X,E,Y>，其中E是连接X和Y的边的集合。一个完全二分图是二分图的一个特例，它要求X集合中的每个节点都与Y集合中的每个节点直接相连。当X和Y集合的大小相等时，我们用Kg表示这个完全二分图，这里的g代表X和Y集合的节点数量。
二分图的一个关键性质是，它所有的回路（即闭合路径）的长度都是偶数。这是因为每条边跨越了X和Y两个子集的边界，所以每次经过一条边都会改变路径中节点所在的子集。定理13.6指出，一个无向图是二分图当且仅当其所有回路的长度都是偶数。
平面图则是图论中的另一个概念，它指的是可以在二维平面上画出的一种图，要求边不相交，除了在顶点处交汇。这种画法被称为平面嵌入。如果一个图无法在平面上画出而不产生边的交叉，那么它就是非平面图。例如，K5和K3,3这两种图是著名的非平面图，因为无论如何尝试，总会存在边的交叉。平面图的性质包括：如果一个图G是平面图，那么它的任何子图G'也是平面图；反之，如果G是非平面图，那么G'也是非平面图。这表明Kn（n>6）和Kmn（m,n>3）都不是平面图，因为它们包含K5或K3,3作为子图。
平面图的构建算法通常涉及到如何有效地在不产生边交叉的情况下绘制图。对于实际应用，如电路布局或地图设计，平面图的理论提供了重要的指导。此外，平面图的一些特性，如平行边和环的存在不会影响其平面性，这使得处理这类图的问题变得相对简单。
总结来说，二分图和平面图在图论中占有重要地位。二分图提供了一种将图结构分为两个独立部分的方法，而平面图则允许我们在二维空间中无冲突地表示复杂网络。这两个概念在算法设计、数据结构、计算机图形学以及工程问题等领域都有着深远的影响。理解并掌握这些知识，对于解决涉及图的复杂问题至关重要。
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