勒让德(legendre)多项式及其性质.doc

勒让德多项式是数学中的一个重要概念，尤其在数值分析、物理和工程计算中有着广泛的应用。勒让德多项式源自于勒让德方程，一个二阶线性微分方程，通常写作： \[ \frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + n(n+1)y = 0 \] 其中，\( n \) 是非负实数。勒让德方程的解可以表示为幂级数的形式，对于 \( n \) 非负整数时，会得到一个有界的多项式解，即勒让德多项式。 勒让德多项式可以通过不同的方式定义，但常见的一种是通过递推公式得到。当 \( n \) 是正偶数时，勒让德多项式 \( P_n(x) \) 可以用以下递推公式表示： \[ P_n(x) = \frac{1}{2n} [ (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x)] \] 而当 \( n \) 是正奇数时，同样可以利用类似的递推公式得到 \( P_n(x) \)： \[ P_n(x) = \frac{1}{2n} [(2n-1)xP_{n-1}(x) + (n-1)P_{n-2}(x)] \] 勒让德多项式的初始条件为 \( P_0(x) = 1 \) 和 \( P_1(x) = x \)。 勒让德多项式具有一些重要的性质： 1. 它们在区间 \([-1, 1]\) 上是正交的，即对于 \( m \neq n \)，有： \[ \int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)(1-x^2) dx = \frac{2}{2n+1}\delta_{mn} \] 这里的 \( \delta_{mn} \) 是克罗内克符号，当 \( m = n \) 时为 1，否则为 0。 2. 勒让德多项式满足正交归一化条件，其积分归一化系数为 \( \frac{2}{2n+1} \)。 3. 它们满足差分方程 \( (1-x^2)P''_n(x) - 2xP'_n(x) + n(n+1)P_n(x) = 0 \)，这是勒让德方程的标准形式。 4. 对于非负整数 \( n \)，勒让德多项式是 \( C^\infty \) 类函数，即在 \([-1, 1]\) 上是无穷可微的。 5. 它们在 \([-1, 1]\) 上具有 \( n+1 \) 个零点，这些零点均位于 \((-1, 1)\) 内且是简单的。 6. 勒让德多项式可以用来近似连续函数，这在傅里叶级数和数值分析中有重要作用，特别是在 Legendre-Laguerre 多项式和 Legendre-Gauss 点的应用中。 此外，勒让德多项式还有母函数 \( L(z, x) \)，它可以表示为： \[ L(z, x) = \frac{1}{\sqrt{1-2zx+x^2}} \] 通过对 \( L(z, x) \) 展开为 \( z \) 的幂级数，可以得到 \( P_n(x) \) 的表达式。通过这个母函数，可以推导出更多关于勒让德多项式的性质，例如它们的导数、对称性和正交性等。 勒让德多项式是一组具有特殊性质的多项式，它们在理论和实际应用中都有着广泛的用途，包括在傅里叶级数、数值积分、信号处理和量子力学等领域。