有限单元法基本原理和数值方法（第二版）.pdf

有限单元法是一种用于通过计算机模拟解决复杂结构和连续介质问题的数值计算方法。它在现代工程和力学领域中扮演着极为重要的角色。有限单元法的基本原理基于变分法，也涉及到了线性代数、微分方程和材料力学等数学和物理学科的知识。其核心思想是将一个连续体划分为有限数量的小单元，这些小单元通过节点相互连接。计算时，我们可以根据实际问题建立相应的数学模型，并将其转化为一个或者一系列的线性或非线性方程组。之后，通过求解这些方程组，可以得到整个连续体内的应力、应变、位移等物理量的近似解。 有限单元法的应用领域十分广泛，包括但不限于结构工程、机械工程、土木工程、航空航天、汽车制造和生物医学工程等。这种方法适用于解决弹性力学、塑性力学、流体力学、热传导以及电磁场等多方面的物理问题。 有限单元法的数值方法通常包括以下关键步骤： 1. 物理问题的数学建模：根据研究对象的物理性质和受力情况，建立相应的微分方程或者积分方程。例如，在弹性力学问题中，建立控制变形和应力分布的偏微分方程组，如平衡方程、本构方程和几何方程。 2. 域的离散化：将连续域划分为有限数量的小单元，这些单元可以是三角形、四边形、四面体、六面体等几何形状。单元之间通过节点相互连接，这些节点是有限单元法计算的基础。 3. 选择合适的插值函数：在每个单元内，采用适当的插值函数来近似表达单元内的未知场函数（如位移、温度等）。插值函数需要在单元的节点上满足边界条件和连续性要求。 4. 形成系统方程：通过将单元内的插值函数代入单元的局部刚度矩阵并进行组装，形成整个结构的总刚度矩阵，从而导出结构的全局平衡方程。 5. 边界条件的应用：将给定的边界条件（如位移边界条件、力边界条件等）应用到系统方程中，以确保求解的唯一性。 6. 求解线性方程组：使用相应的数值方法（例如高斯消元法、迭代法等）求解刚度矩阵构成的线性方程组，得到节点上的近似解。 7. 后处理：对计算得到的节点解进行插值，得到整个连续体内的应力、应变和位移等物理量的分布情况，并进行分析和评估。 在实际应用中，有限单元法的数值解可能与实际物理解存在误差，这些误差可能来源于模型的简化、离散化误差、材料模型的假设等。因此，工程师和研究人员需要对有限单元法的计算结果进行验证和敏感性分析，以确保计算结果的准确性和可靠性。 有限单元法作为一种强有力的数值计算工具，为工程师和研究者提供了一种方便快捷地处理复杂工程问题的手段。随着计算机技术的发展和计算方法的进步，有限单元法的应用将会更加广泛和深入，为科学研究和工程设计提供重要的支持。