严禁用于商业用途
1997 年
一.R
1
、R
2
分别是集合 S、T 上的关系,定义 ST 上的关系 R
3
:<s
1
,t
1
>R
3
<s
2
,t
2
>当且仅当 s
1
R
1
s
2
,
t
1
R
2
t
2
。
证明: (1)若 R
1
、R
2
为等价关系,则 R
3
为等价关系。
(2)若 R
1
、R
2
为偏序,则 R
3
也是偏序。
二.证明:S 是无限集当且仅当存在 S 的真子集 S’:满足 S 与 S’等势。
三.图 G=(V
G
,E
G
),R
1
是定点集 V
G
上的相邻关系,即对任意 u,v∈V
G
,uR
1
v 当且仅当 u,v∈E
G
。
R
2
是 V
G
上的可达关系,即 uR
2
v 当且仅当在 G 中存在 vu‐通路。
证明 R2 是 R1 的传递闭包。
四.(1)T 是树,e 是 T 中任意一条边,证明:T’=T‐{e}是连通分支数为 2 的森林。
(2)图 G=(V
G
,E
G
),|V
G
|=n,|E
G
|=m,G 连通且恰好含一个回路的充分必要条件是下列三项中
的任意两项成立。
(i)G 连通,(ii)G 恰好含一个回路,(iii)m=n。
五.(1)若 G 是奇数阶有限群,证明对任意 a∈G,方程 x
2
=a 有解。
(2)若在有限群 G 中,对任意 a,x
2
=a 有唯一解,则|G|必为奇数。
六.Zm、Zn 分别是 m、n 阶剩余加群。定义代数系统(ZmZn,*):对任意 x1,x2∈Zm,y1,y2∈Zn,
(x1,y1)*(x2,y2)=(x1+mx2,y1+ny2)。
证明:若 m、n 互质,ZmZn 是循环群,生成元为(1,1)。
证明:(1)封闭性
(2)可结合性
(3)幺元 (0,0)
(4)逆元显然,对于任意(a,b) Z∈
m
×Z
n
, 有(a
‐1
,b
‐1
)
综上所述,对于任意的 m、n,(Z
m
×Z
n
,*)都是群。
显然,若 m 与 n 互质, Zm×Zn 是循环群,生成元为(1,1)。
七.试讨论在一给定公理系统的公理系统集合中添加或删除元素,对系统的性质可能产生什么
影响。(提示:在添加元素的情况下,要考虑所加公式在原系统中是否可证。)
八.给下列命题:
(1)参加展览的人中,每个 N 大学的男生都背 K 牌书包。
(2)参观展览的人中,每个背 K 牌书宝的都是来自 N 大学的男生。
(3)每个背 K 牌书包的 N 大学男生都参观了该展览。
写出相关的谓词逻辑表达式,证明:(1)(2)不能推出(3)。
5/30
评论4
最新资源