国防科大数理逻辑考博资料

### 国防科大数理逻辑考博资料关键知识点总结 #### 一、形式系统概述 形式系统是一种抽象的逻辑框架，它通过一系列严格的规则来定义符号语言的使用方式及其推理过程。根据提供的资料，我们可以了解到形式系统由两大部分组成：语言部分和理论部分。 - **语言部分**：涉及符号体系的符号及其组合规则，即如何形成合法的符号串（如项、公式等）。 - **理论部分**：包括公理集合和推演规则集合，用于生成定理。 #### 二、形式系统的定义与组成部分 形式系统的形式化定义如下： **定义1.0.1**：形式系统\( FS = <\Sigma, Term, Formula, Axiom, Rule> \)，其中： - **Σ**：非空集合，称为形式系统的符号表，其元素是形式系统的符号。 - **Term**：项集合，其元素称为项，是从Σ中字符构成的字符串子集。 - **Formula**：公式集合，其元素称为公式。该集合与Term集合互斥，即没有共同元素。 - **Axiom**：公理集合，其元素称为公理。 - **Rule**：推演规则集合，用于从公理出发生成新的定理。 #### 三、命题逻辑 命题逻辑是数理逻辑的一个分支，主要研究简单命题之间的逻辑关系以及如何通过这些关系构造更复杂的逻辑表达式。 **2.1 命题逻辑形式系统P** - 定义了命题逻辑的基本符号和语法结构。 **2.2 P的定理和导出规则** - 描述了如何从给定的公理集合出发，利用推演规则生成定理的过程。 **2.3 P的语义，协调性** - 语义解释是指对命题逻辑中的符号赋予具体的含义，使得逻辑表达式可以被理解为真实的或虚假的陈述。 - 协调性是指所有公理和推导规则都不导致矛盾的情况。 **2.4 P的完全性** - 完全性意味着如果一个命题逻辑公式在所有可能的解释下都为真，则它必须可以从公理集合中推导出来。 **2.5 P的独立性** - 独立性是指公理集合中的每个公理都是必不可少的，删除任一公理都会使某些可以证明的定理无法被证明。 **2.6 命题联结词** - 讨论了命题逻辑中的基本逻辑运算符，如合取、析取、否定等。 **2.7 P的紧致性** - 紧致性定理表明，如果一个无限的命题集合的每一个有限子集都有模型，则整个集合也有模型。 **2.8 消解** - 消解是一种证明技术，用于从一组公理推导出定理，特别适用于自动推理。 #### 四、一阶逻辑 一阶逻辑是在命题逻辑的基础上增加了量词和个体变量的能力，从而能够更精确地表达和推理数学和现实世界的问题。 **3.1 一阶逻辑形式系统F** - 定义了一阶逻辑的基本符号和语法结构。 **3.1.1 符号表Σ** - 包含了一阶逻辑中的所有符号。 **3.1.2 项集Term⊆Σ∗** - 项集是由Σ中的符号组成的项的集合。 **3.1.3 合式公式集Formula⊆Σ∗** - 公式集是包含所有合法的一阶逻辑表达式的集合。 **3.1.4 公理集Axiom⊆Formula** - 公理集是一些被认为是自明真的基本命题。 **3.1.5 规则集Rule={MP, Gen}** - MP（Modus Ponens）和Gen（Generalization）是两个重要的推演规则。 **3.2 F的定理和导出规则** - 描述了如何从给定的公理集合出发，利用推演规则生成定理的过程。 **3.3 代入定理** - 讨论了如何通过替换公式中的个体变量来生成新的定理。 **3.4 前束范式** - 是一阶逻辑公式的一种标准化形式，其中量词位于最前面。 **3.5 F的语义** - 描述了一阶逻辑公式的真假值如何根据解释确定。 **3.6 独立性** - 讨论了公理集合中的每个公理都是必不可少的这一特性。 **3.7 协调性和完全性** - 分别讨论了一阶逻辑系统的协调性和完全性。 #### 五、等词 等词是处理等价关系的逻辑概念，在一阶逻辑中具有重要意义。 **4.1 等词系统F=** - 介绍了一阶逻辑中如何处理等价关系。 **4.2 等词模型** - 讨论了如何通过模型的概念来理解等词系统的语义。 #### 六、历年考博题目 资料中还收录了国防科大数理逻辑考博历年的试题，这些试题覆盖了从2000年至2011年的各个年度。 通过对以上知识点的梳理，我们可以看到数理逻辑不仅是一门理论学科，而且在实际应用中具有广泛的价值。无论是命题逻辑还是一阶逻辑，都是现代计算机科学、人工智能等领域的重要基础。掌握这些知识不仅能帮助考生更好地准备考试，也能为其未来的研究和工作打下坚实的基础。