### Runge-Kutta Methods for Parabolic Equations and Convolution Quadrature
#### 摘要与研究背景
本文探讨了Runge-Kutta时间离散化方法在处理线性和半线性抛物型方程（包括不可压缩Navier-Stokes方程）中的应用，并引入了一种基于Runge-Kutta方法的卷积求积新算法来近似计算卷积积分。通过分析，作者得出了接近最优的误差界限，并将时间收敛阶与空间正则性和边界条件类型联系起来。这种分析依赖于将Runge-Kutta方法解释为卷积求积的方法。
#### 关键概念与技术细节
1. **Runge-Kutta 方法**：这是一种广泛应用于数值解微分方程的时间离散化方法。它通过构造一系列的泰勒级数展开项来逼近解的导数，从而得到更精确的时间步进方案。对于抛物型方程，Runge-Kutta方法特别有效，因为它可以很好地处理这些方程中固有的平滑解结构。
2. **抛物型方程**：这类方程通常表示扩散或热传导过程，是许多物理现象的基础模型。它们的一般形式为：
\[
u_t = \nabla \cdot (c(x)\nabla u) + f(x, u)
\]
其中\(u_t\)表示\(u\)关于时间的导数，\(\nabla\)是梯度算子，\(c(x)\)是扩散系数，而\(f(x, u)\)是源项或反应项。
3. **不可压缩Navier-Stokes方程**：这是流体动力学中最基本的方程组之一，用于描述不可压缩流体的运动。方程组包含动量守恒和连续性方程，可以写成：
\[
\begin{aligned}
&\rho(u_t + u\cdot\nabla u) = -\nabla p + \mu\Delta u + f \\
&\nabla\cdot u = 0
\end{aligned}
\]
其中\(u\)是速度场，\(p\)是压力，\(\rho\)是密度，\(\mu\)是黏度，而\(f\)是外力。
4. **卷积求积方法**：这是一种数值积分技术，用于近似计算卷积积分。它通过将卷积核的拉普拉斯变换与待积分函数的拉普拉斯变换结合使用来实现，尤其适用于处理包含不同时间尺度的弱奇异核的情况。卷积积分的一般形式为：
\[
(k*g)(t) = \int_0^t k(t-\tau)g(\tau)d\tau
\]
#### 研究成果与应用领域
- **误差分析**：通过对Runge-Kutta时间离散化的误差分析，作者得到了接近最优的误差界限，揭示了时间收敛阶与空间正则性和边界条件之间的关系。
- **卷积求积算法**：基于Runge-Kutta方法的卷积求积算法可以高效地近似计算卷积积分，这对于处理各种控制工程、边界积分方程以及粘弹性问题中的积分方程非常重要。
- **理论与实践结合**：尽管这两部分看似不相关，但它们都依赖于Runge-Kutta方法的离散运算代数特性。因此，在一个统一框架下讨论这两个方面有助于更好地理解它们之间的内在联系。
#### 结论与展望
本文不仅提供了对Runge-Kutta方法在抛物型方程求解中的深入理解，还引入了一种新颖的卷积求积方法，该方法在多个工程领域具有潜在的应用价值。未来的研究可以进一步探索这些方法在更广泛的非线性问题中的适用性，以及如何结合高效的预处理技术和并行计算策略以提高算法的整体性能。
heijian202012-11-19论文 文献，还可以
