数值分析第五版全答案chap7.doc

### 数值分析第五版全答案chap7.doc #### 一、章节概述与核心知识点 本章节主要探讨了非线性方程求根的方法及其应用，是数值分析领域中的一个重要组成部分。通过对不同求根方法的学习，可以帮助学生理解如何解决实际工程问题中的非线性方程求根问题。 #### 二、重点内容提要 ##### （一）问题简介 求单变量函数方程 \((7.1)\) 的根是指找到一个实数或复数 \(x^*\)，使得 \(f(x^*) = 0\)。这种情况下，\(x^*\) 称为方程\((7.1)\)的根，也被称为函数的零点。如果 \(f(x)\) 可以分解为 \(f(x) = g(x)^m\)，其中 \(m\) 为正整数，且 \(g(x) ≠ 0\)，那么 \(x^*\) 是方程\((7.1)\)的 \(m\) 重根。当 \(m = 1\) 时，称其为单根；当 \(m > 1\) 时，则称其为 \(m\) 重根。若 \(f(x)\) 在某点 \(x^*\) 充分光滑，且 \(x^*\) 为 \(m\) 重根，则有 \(f^{(1)}(x^*) = f^{(2)}(x^*) = ... = f^{(m-1)}(x^*) = 0\)，但 \(f^{(m)}(x^*) ≠ 0\)。 如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，并且 \(f(a)f(b) < 0\)，根据介值定理可知，方程 \(f(x) = 0\) 在开区间 \((a, b)\) 内至少有一个实根。称 \([a, b]\) 为方程的有根区间。 ##### （二）方程求根的几种常用方法 1. **二分法** - **基本原理**：假设 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，并且 \(f(a)f(b) < 0\)，则 \(f(x) = 0\) 在开区间 \((a, b)\) 内至少有一个实根。取区间中点 \(c = (a + b)/2\)，计算 \(f(c)\) 的值。如果 \(f(c) = 0\)，则找到了根；如果 \(f(a)f(c) < 0\)，则根位于 \([a, c]\) 内；如果 \(f(c)f(b) < 0\)，则根位于 \([c, b]\) 内。重复这一过程直到达到预定精度。 - **收敛性**：二分法是一种确定性算法，通过不断地缩小根所在的区间，最终可以找到满足精度要求的根。对于任意的 \(x^*\)，有 \(\lim_{n \to \infty} x_n = x^*\)，其中 \(x_n\) 为第 \(n\) 次迭代后的中点坐标。二分法的收敛速度为线性收敛，即误差每步减少一半，误差估计公式为 \(|x^* - x_n| \leq \frac{|b-a|}{2^n}\)。 2. **迭代法** - **定义**：将方程 \(f(x) = 0\) 转化为 \(x = g(x)\) 的形式，如果存在一个 \(x^*\) 使得 \(x^* = g(x^*)\)，则 \(x^*\) 称为不动点。 - **不动点迭代法**：选择一个初始值 \(x_0\)，然后按照 \(x_{k+1} = g(x_k)\) 的规则迭代计算下一个近似值。如果序列 \(\{x_k\}\) 收敛于某个值 \(x^*\)，则 \(x^*\) 是 \(g(x)\) 的不动点，也是原方程的根。 - **收敛性**： - **不动点存在性定理**：如果 \(g(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，并且 \(|g'(x)| \leq L < 1\) 对于所有 \(x \in [a, b]\)，则在 \([a, b]\) 内存在唯一的不动点。 - **不动点迭代法的全局收敛性定理**：如果 \(g(x)\) 满足不动点存在性定理中的条件，则对任意 \(x_0 \in [a, b]\)，迭代序列 \(\{x_k\}\) 收敛到 \(g(x)\) 的不动点，并且有误差估计 \(|x^* - x_k| \leq L^k|x^* - x_0|\)。 - **不动点迭代法的局部收敛性定理**：如果 \(g(x^*) = x^*\)，并且 \(g(x)\) 在 \(x^*\) 的某个邻域内连续，且 \(|g'(x^*)| < 1\)，则迭代法局部收敛于 \(x^*\)。 #### 三、收敛阶的概念 - **定义**：如果迭代过程 \(x_{k+1} = g(x_k)\) 收敛于方程的根 \(x^*\)，且迭代误差 \(e_k = |x^* - x_k|\) 满足 \(e_{k+1} = O(e_k^p)\)，则称该迭代过程是 \(p\) 阶收敛的。特别地，当 \(p = 1\) 时称为线性收敛；当 \(p = 2\) 时称为平方收敛；当 \(p > 1\) 时，通常认为是超线性收敛。 - **例子**：二分法是线性收敛的，而牛顿法通常被认为是二次收敛的。 通过上述介绍，我们可以了解到非线性方程求根的基本概念、方法及其收敛性质。这些理论不仅为数值分析提供了坚实的基础，也为后续更高级别的数值方法研究打下了基础。