%本程序是Powell方法的优化演示程序
%本程序采用符号计算的方法
%其中选用的方程求解时选用epsilon=0.0001是会得到比较理想的结果
%当然在此没考虑lam的精度要求如果增加lam的精度可使得迭代步骤相应减少
%且对epsilon的精度也会有较低要求
%董阿伦-信息06-5 06070253
clear all
clc
syms x1 x2 lam
f=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2;
x0=[1 1]';
%f=100*(x2-x1^2)^2+(1-x1)^2;%选用的方程
%x0=[-1.2 1.0]';%选用的初始值
epsilon=0.2;
e1=[1 0]';e2=[0 1]';%构造线性无关向量
e={e1 e2};%采用元包数组存取线性无关向量
s=e;%用来存放搜索方向
n=length(s);
xx0=x0;%用来记录x0
while 1
syms x1 x2 lam %刷新符号变量
for i=1:n
syms lam %刷新符号变量
%求关于lam的极小值部分
xx=xx0+lam*s{i};
x1=xx(1);x2=xx(2);
ff=eval(f);
%牛顿迭代部分
lam0=0;
f1=diff(ff);%一阶导数
f2=diff(f1);%二阶导数
while 1
syms lam
lam=lam0;
lam1=lam0-eval(f1)/eval(f2);
if abs(lam1-lam0)<0.001
break;%满足精度要求迭代结束
end
lam0=lam1;%更新lam0
end
%牛顿迭代结束
x{i}=xx0+lam*s{i};%记录每个搜索方向
xx0=x{i};
end
if norm(x{n}-x0)<epsilon%满足迭代精度要求结束主程序
x0=x{n};
break;
else
%寻找下降最大处的xj
x1=x0(1);x2=x0(2);
ff1=eval(f);
x1=x{1}(1);x2=x{1}(2);
ff2=eval(f);
delta=ff1-ff2;
jj=0;%记录下标
%寻求最大的函数值增量
for j=1:n-1
x1=x{j}(1);x2=x{j}(2);
ff1=eval(f);
x1=x{j+1}(1);x2=x{j+1}(2);
ff2=eval(f);
delta0=ff1-ff2;
if delta0>delta
delta=delta0;%更新delta
jj=j;%更新记录的下标
end
end
end
x1=x0(1);x2=x0(2);
ff1=eval(f);
x1=x{n}(1);x2=x{n}(2);
ff2=eval(f);
x3=2*x{n}-x0;
x1=x3(1);x2=x3(2);
ff3=eval(f);
if 2*delta>=(ff1-2*ff2+ff3)
%更新搜索方向部分
ss=(x{n}-x0)/norm(x{n}-x0);%获得一个新的搜索方向
for i=jj+1:n-1%元包数组的下标从一开始
s{i}=s{i+1};
end
s{n}=ss;
syms lam %刷新符号变量
%用牛顿法寻求最优步长
xn=x{n}+lam*x{n};
x1=xn(1);x2=xn(2);
ff=eval(f);
%牛顿迭代部分
lam0=0;
f1=diff(ff);
f2=diff(f1);
while 1
syms lam %刷新符号变量
lam=lam0;
lam1=lam0-eval(f1)/eval(f2);
if abs(lam1-lam0)<0.001%满足精度则停止迭代
break;
end
lam0=lam1;
end
%牛顿迭代结束
x0=x{n}+lam*x{n};
else
x0=x{n};%更新x0继续迭代
end
xx0=x0;%刷新x0
end
%输出近似极小点
disp(['让函数取得极小值的近似点为:','(',num2str(x0(1)),',',num2str(x0(2)),')'])
x1=x0(1);x2=x0(2);
%输出近似极小值
disp(['函数的极小值为啊:f=',num2str(eval(f))])
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