第13章微分方程建模.pdf资源-CSDN文库

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-153-

第十三章微分方程建模

微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微

分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以

下几步：

1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。

2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。

3. 运用这些规律列出方程和定解条件。

列方程常见的方法有：

（i）按规律直接列方程

在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，

并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用

这些规律对某些实际问题列出微分方程。

（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法

自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对

于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过

微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，

然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立

微分方程。

（iii）模拟近似法

在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需

要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所

满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。

在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法，

通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情

况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。

本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。

§1 发射卫星为什么用三级火箭

采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用

多级火箭系统？

下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。

火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分

析，并且假设引擎是足够强大的。

1.1 为什么不能用一级火箭发射人造卫星

下面用三个数学模型回答这个问题

1.1.1 卫星进入 600km 高空轨道时，火箭必须的最低速度

首先将问题理想化，假设：

（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球

引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；

（ii）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；

（iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。

建模与求解：设地球半径为

，质量为

；卫星轨道半径为

，卫星质量为

。

根据假设（ii）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力

󰇈󰆠󰇈󰄀

󰇈󰆠󰇈󰄀󰷅󰷅󰷅󰷅

-154-

大小为

GMm

F =

（1）

其中

G 为引力常数。

为消去常数

G ，把卫星放在地球表面，则由（1）式得

GMm

mg =

或 gRGM

再代入（1）式，得

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

mgF

（2）

其中

)m/s(81.9

=g 为重力加速度。

根据假设（i），若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为

v ，则其向心力为 rmv /

，

因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

由此便推得卫星距地面为

km)( Rr − ，必须的最低速度的数学模型为

Rv =

（3）

取 km6400=R ， km600=− Rr ，代入上式，得

km/s6.7

≈

即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭的末速度最低应为 7.6km/s。

1.1.2 火箭推进力及升空速度

火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭

末端喷出，给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公

转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。为使问题简化，假设：

（i）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。

（ii）在

t 时刻火箭质量为 )(tm ，速度为 )(tv ，且均为时间 t 的连续可微函数；

（iii）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数

u 。

建模与分析：由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在

),( ttt Δ+ 内的减少量可由台劳展式表示为

)()()( tot

tmttm Δ+Δ=−Δ+ （4）

因为喷出的气体相对于地球的速度为

utv

−

)(

，则由动量守恒定律有

))(()()()()()( utvtot

ttvttmtvtm −

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Δ+Δ−Δ+Δ+= （5）

从（4）式和（5）式可得火箭推进力的数学模型为

m −=

（6）

令

0=t 时，

)0( vv

，

)0( mm = ，求解上式，得火箭升空速度模型

-155-

)(

ln)(

uvtv +=

（7）

（6）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度（相对火箭）的乘积。（7）

式表明，在

,mv 一定的条件下，升空速度 )(tv 由喷气速度（相对火箭）

及质量比

)(/

tmm 决定。这为提高火箭速度找到了正确途径：从燃料上设法提高

值；从结构

上设法减少

)(tm

。

1.1.3 一级火箭末速度上限

火箭—卫星系统的质量可分为三部分：

m （有效负载，如卫星），

m （燃料质量），

m （结构质量，如外壳、燃料容器及推进器）。一级火箭末速度上限主要是受目前技术

条件的限制，假设：

（i）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度

u km/s 及

≥

（ii）初速度

v 忽略不计，即 0

v 。

建模与求解：因为升空火箭的最终（燃料耗尽）质量为

，由（7）式及假

设（ii）得到末速度为

（8）

令

)()(

0 psFs

mmmmm −=

，代入上式，得

)1(

λλ

−+

（9）

于是，当卫星脱离火箭，即

时，便得火箭末速度上限的数学模型为

uv =

由假设（i），取

3=u km，

，便得火箭速度上限

6.69ln3

≈=v km/s

因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。

1.2 理想火箭模型

从前面对问题的假设和分析可以看出：火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然

而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，故效

益低，浪费大。

所谓理想火箭，就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。下面建立它的

数学模型。

假设：在

),( ttt Δ+ 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以

与

−1 的比例同

时进行。

建模与分析：由动量守恒定律，有

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