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2014-05-25
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数学模型与数学建模
前 言
数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁。从牛顿的万有引力定律、麦克斯韦电磁波理
论、到爱因斯坦的广义相对论、人类基因的 DNA 分析，科学技术的发展无时无刻不留下数学
模型的印记，并且一再表明“一门科学只有成功地运用数学时,才算达到完善的地步”。这不仅是
因为“自然科学真理的本质是通过数学概念表达的”，而且更主要的是由于数学学科的特征所决
定的。
数学的学科特征
[1.] 思维的抽象性：数学抽象:只保留量的关系和空间形式; 不仅概念，而且方法也是抽象的、
[2.] 推理的严谨性：科学证明依赖于观察、试验和理解力；数学证明依靠逻辑、计算和推理。
这种严谨使得数学成为刻画自然的真理。
[3.] 应用的广泛性: “宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日
用之繁、数学无处不在，凡是出现"量"的地方就少不了数学。”（华罗庚） 凡是出现“量”、“形”、
“关系”的地方都少不了数学。
数学建模就是应用数学解决实际问题。回顾数学自身的发展，我们看到数学的实际应用和
理性探索构成数学发展的两个互不可缺的原动力。
从古到今，数学的发展大致可以分为 4 个主要阶段。
1．初等数学时期(-5-17 世纪)
由于人类生产实践需要，在希腊, 中国，印度,欧洲建立和发展的算术、几何、代数、
三角等初等数学的主要分支构成了现在中学数学基本内容。但是，只是在古希腊数学才形成为
一门科学；欧几里德的《几何原本》代表典型的数学思维的方式。古希腊人对宇宙的态度与其
它古代文化是不同的，他们敢于直视宇宙，并追寻其究竟。他们所关心的并不是数学的实用性 ，
而是为了认识宇宙，追求真理。希腊人这种不讲实用，为理论而理论的追求，为科学的发展开
辟了无限的空间。
2．变量数学时期(17-19 世纪初)
进入机器化的大工业时期，对运动的研究成为自然科学的中心问题。1637 年笛卡尔的
《几何学》奠定了解析几何的基础，从此变量进入了数学，运动进入了数学。 17 世纪后半叶
牛顿、莱布尼兹建立了微积分。为实用需要还产生了研究随机现象的数学方法-概率论。同时，
数学的基础理论得到发展，1870 年康托尔建立的集合论的一般思想渗透到数学的所有部门。
3．近代数学时期(19 世纪初-20 世纪中)
为填补数学基础的裂痕，柯西、波尔查诺、维尔斯特拉斯、戴特金等人的工作精确化分析
基础，同时导致了实变函数、函数逼近论、微分方程定性理论、积分方程、泛函分析等新的数
学分支的产生。纯粹的由于美的和哲学的追求，罗巴切夫斯基建立了非欧几里德几何，被视为
现代数学的实际起点。数学进入“自由创造”时期：黎曼等人发展了黎曼空间 ,伽罗瓦等人建立的
现代代数，将对物质世界的空间形式的几何研究方法推广到对现实世界的其它形式的研究 。
1900 年希尔伯特分析当时数学的现状提出的 23 个问题对 20 世纪数学的发展起了巨大的推动
作用。所有这一时期的数学取的巨大的发展，正如克莱因指出的"进行数学创造的最主要的策
动力是对美的追求"。
这种对美的追求，不仅表现在理性探索上，而且反映在数学应用上。克莱因同时也指出
“研究数学最明显的，尽管不一定是最重要的是为了解决社会需要而直接提出的问题”。20 世纪
初数学物理、数理逻辑、运筹学、图论、计算机科学的应用数学分支得到飞速的发展。 希尔
伯特、康托罗维奇、冯.诺伊曼、图灵等都是应用数学家的杰出代表，他们通晓自然科学与数
学。
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