### 抽象数据类型与其实现
在这门课程中，我们讨论了多个抽象数据类型（ADT），例如字典（Dictionary）、优先队列（PriorityQueue）和不相交集合（DisjointSets）。对于这些ADT，我们学习了不同的实现方法，例如：
- **字典（Dictionary）** 可以通过哈希表（HashTable）、二叉搜索树（BinarySearchTree）和AVL树来实现。
- **优先队列（PriorityQueue）** 的实现方法有堆（Heap）和链表（LinkedList）。
- **不相交集合（DisjointSets）** 可以通过链表或不相交集合树（DisjointSetTree）来实现。
在实现这些ADT时，我们通常讨论使用链表或数组来实现，尽管链表的变体在效率上通常不如数组。
### 算法分析的区别
在算法分析中，我们区分了概率分析和随机算法分析的概念：
- **概率分析** 适用于确定性和随机算法。它通过计算在所有可能输入上的期望运行时间来工作。
- **随机算法分析** 关注的是有随机行为的算法。这并不意味着输入必然是随机的，而是算法的行为是不确定的。在随机算法分析中，我们可能会假设输入是随机的。
### 二叉搜索树（Binary Search Tree）
对于三个键（1，2，3）的所有可能的二叉搜索树，可以绘制为：
```
1
\
2
\
3
1
\
3
/
2
2
/ \
1 3
3
/
2
/
1
2
/
1
\
3
3
/
1
\
2
```
### 分区操作（Partition）与快速排序
在对数组 `A: [3, 15, 11, 2, 7, 28, 11, 9, 10]` 进行分区操作时，以最后一个元素为基准，排序后的数组可能是：
`[3, 7, 2, 9, 10, 15, 11, 11, 28]`
### 随机快速排序（RANDOMIZED-QUICKSORT）的优势
尽管随机快速排序的最坏情况运行时间是 O(n^2)，我们仍可能偏好使用它，原因包括：
- 它是原地排序，不需要额外的存储空间。
- 预期时间复杂度是 O(n log n)，优于 O(n^2) 的排序算法。
- 实际上，随机快速排序通常运行得更快。
### 删除堆顶元素（DELETE-KEY）操作
对于数组表示的堆（A），删除一个元素 k 并保持堆性质的函数 DELETE-KEY 可以伪代码表示为：
```
DELETE-KEY(A, k)
i = 1
while i <= A.length
if A[i] == k
Delete the node at i
A[i] = A[A.length] // Move last element to the deleted position
A.length = A.length - 1
Heapify down the tree starting from i
return
end if
i = i + 1
end while
end DELETE-KEY
```
需要注意的是，heapify 操作是从被删除元素的位置开始的，向下调整堆结构以恢复堆的性质。这里，堆的大小由变量 `A.length` 指定，且假定堆中恰好只包含一个 k 的实例。
### 小结
在CSC263这门课程中，我们深入了解了数据结构和算法分析，包括ADT的定义、实现及其分析方法。通过对这些概念的学习，可以更好地理解各种数据结构和算法的性能，以及在不同场景下如何选择合适的算法来优化程序的性能。
