随机向量是概率论与数理统计中的一个重要概念，它涉及到多个随机变量的联合分布情况。在二维随机变量的研究中，我们关注的是两个随机变量如何共同变化，它们的联合分布特性，以及如何从联合分布中推导出各自独立的边缘分布。
二维随机变量是由两个随机变量X和Y组成的，它们可以看作是定义在同一概率空间上的实值函数。随机向量通常用大写字母表示，如\( \mathbf{Z} = (X, Y) \)。这两个变量可能有相互依赖的关系，也可能相互独立。定义一个二维随机变量的分布，需要给出其联合概率分布函数或联合概率密度函数。
例如，对于离散型二维随机变量，联合概率分布函数\( P(Z = (x, y)) \)表示事件\( Z = (X = x, Y = y) \)发生的概率。而对于连续型二维随机变量，我们需要知道联合概率密度函数\( f_{XY}(x, y) \)，它是定义在实数平面上的一个非负函数，且整个平面的积分等于1。
在描述随机向量时，有以下几个关键点需要注意：
1. **独立性**：如果随机变量X和Y相互独立，那么它们的联合分布可以分解为边缘分布的乘积，即\( f_{XY}(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) \)。这意味着X的取值不会影响Y的取值，反之亦然。
2. **条件分布**：给定一个随机变量的值，另一个随机变量的分布称为条件分布。例如，X的条件分布给定Y为y是\( f_{X|Y}(x|y) \)，它描述了在已知Y=y的情况下X的概率分布。
3. **边缘分布**：通过将联合分布对其中一变量积分（对于连续变量）或求和（对于离散变量），我们可以得到一个随机变量的边缘分布。例如，X的边缘概率分布函数\( f_X(x) \)是通过积分或求和\( \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y) dy \)或\( \sum_{y} f_{XY}(x, y) \)得到的。
4. **联合分布性质**：随机变量的联合分布必须满足概率的非负性和总概率为1的性质。对于联合概率密度函数，它在整个平面的积分等于1；对于联合概率分布函数，所有可能的值的和或积必须等于1。
【例8】提到的一般情况下，可能是在讨论一个特定的联合分布形式，例如二维正态分布或其他特定类型的分布，并且可能涉及了概率性质的计算。
【例12】可能是一个具体的概率问题，要求求解某个事件的概率，这通常涉及到计算联合概率或者利用概率的乘法、加法规则，甚至可能需要用到贝叶斯定理。
习题部分提到了P.115页的课外习题1，要求求解概率，可能需要理解并应用概率的基本公式和性质。而P.116页的课内习题3, 5, 7则可能是关于随机变量的其他类型的问题，比如计算边缘分布、验证独立性或者分析条件分布等。
理解和掌握随机向量的概念及其性质，对于进行更复杂的多维随机变量分析，如多元统计分析、多元概率模型的建立等都是至关重要的。这不仅在理论研究中起着基础作用，也在工程、经济、生物统计等领域中有广泛的应用。
