《数字信号处理》学习指导及习题精解.pdf

### 数字信号处理学习指导及习题精解 #### 一、离散系统的性质和离散信号的变换 ##### 1.1 重点和难点 ###### 1.1.1 时域抽样定理 时域抽样定理是数字信号处理中的一个重要概念，它阐述了从连续信号转换到离散信号时所遵循的原则。具体来说： - **信号的采样**：连续信号\( x_a(t) \)经过周期性的取样后，形成离散信号\( x_s(n) \)，其中\( n \)为整数，表示离散时间点。 - **采样信号的频谱**：离散信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，其幅度为连续信号频谱的\( 1/T_s \)倍，其中\( T_s \)为采样间隔。 - **采样定理**（奈奎斯特定理）：若采样频率\( f_s \)至少为信号最高频率成分\( f_{max} \)的两倍，则可以通过采样信号完全恢复原始信号。即\( f_s \geq 2f_{max} \)。 这个定理确保了从离散信号中能够无失真地重构出原始信号，这对于后续处理如滤波、调制等至关重要。 ###### 1.1.2 离散时间信号 离散时间信号是指信号的时间轴被离散化的信号类型。在数字信号处理领域，主要关注的是离散时间信号，它们可以分为两种主要形式： - **时域离散信号**：信号的幅度可以是连续的，但时间是离散的。 - **数字信号**：信号的时间和幅度都是离散的。 **基本序列**包括单位取样序列、单位阶跃序列、实指数序列、矩形序列和正弦序列。这些序列在信号处理中扮演着基础角色，例如用于构建更复杂的信号或者进行信号分析。 - **单位取样序列**：在\( n = 0 \)时取值为1，在其他位置取值为0。 - **单位阶跃序列**：在\( n \geq 0 \)时取值为1，在\( n < 0 \)时取值为0。 - **实指数序列**：形式为\( x[n] = a^n \)，其中\( a \)是实数。 - **矩形序列**：在指定区间内取固定值，在区间外取零值。 - **正弦序列**：形式为\( x[n] = A\sin(\omega n + \phi) \)，其中\( A \)是振幅，\( \omega \)是数字角频率，\( \phi \)是相位。 正弦序列是否具有周期性取决于数字角频率\( \omega \)是否为\( \pi/2 \)的有理倍数。若\( \omega \)满足这一条件，则正弦序列是周期性的；反之则不具备周期性。 这些基础知识对于理解和处理离散信号至关重要，也是后续章节中深入探讨的主题的基础。 接下来的章节将详细介绍离散系统的特性、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、数字滤波器的设计等内容。通过这些章节的学习，读者将能够更加深入地理解数字信号处理的核心原理和技术。