### Math Sub 04年回忆题知识点解析
#### 1. 极限计算
**题目描述**：求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - \sin x}{x^3}\)
**知识点**：
- **极限基本概念**：极限是微积分的基本概念之一，用来描述函数在某点附近的行为。
- **无穷小与无穷大的比较**：当\(x\)趋向于无穷大时，\(\sin x\)作为周期函数在\([-1, 1]\)区间内波动，而\(x^3\)则趋向于无穷大。因此，\(\sin x\)相对于\(x^3\)来说是一个无穷小量。
**解题思路**：
1. 分子分母同时除以\(x^3\)。
2. 应用极限运算法则计算极限值。
**答案**：该极限的值为0。
#### 2. 几何图形面积排序
**题目描述**：给出三个几何图形——圆\(A\)、正方形\(B\)、六边形\(C\)，从小到大排列它们的面积。
**知识点**：
- **圆的面积公式**：\(S = \pi r^2\)，其中\(r\)是半径。
- **正方形面积公式**：\(S = a^2\)，其中\(a\)是边长。
- **正六边形面积公式**：\(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)，其中\(a\)是边长。
**解题思路**：
1. 假设这些图形的周长相等。
2. 根据公式计算出每个图形的面积表达式。
3. 比较面积大小关系。
**答案**：如果假设这些图形的周长相等，则面积从小到大依次为：正方形\(B\)、圆\(A\)、正六边形\(C\)。
#### 3. 函数性质判断
**题目描述**：已知\(f''(0) < 0\)对于所有实数\(x\)成立，判断以下命题是否正确：
- I. 如果\(f(0) > 0\)，那么\(f(1) \geq 0\)。
- II. \(f'(2) > f'(3)\)。
- III. 如果\(f(4) = f(5) = f(6) = f(7)\)，那么\(f(4) < f(5)\)。
**知识点**：
- **二阶导数的意义**：表示函数的凹凸性。
- **洛必达法则**：用于计算不定式的极限。
- **函数的单调性和极值**。
**解题思路**：
1. 分析\(f''(0) < 0\)的意义，即函数在\(x = 0\)处是凹向下的。
2. 根据凹向下的性质分析各命题。
**答案**：
- I. 错误。函数在\(x = 0\)处的凹向性并不能直接推断出\(f(1) \geq 0\)。
- II. 正确。因为函数在\(x = 0\)处是凹向下的，根据凹函数的性质可以推出\(f'(2) > f'(3)\)。
- III. 错误。即使函数在某些点取相同的值，并不能直接推断出\(f(4) < f(5)\)。
#### 4. 函数空间性质
**题目描述**：给定一个连续双射函数\(f : X \to Y\)，判断以下命题是否正确：
- I. 如果\(X\)是紧致的，则\(Y\)也是紧致的。
- II. 如果\(X\)是豪斯多夫空间，则\(Y\)也是豪斯多夫空间。
- III. 如果\(X\)是紧致的且\(Y\)是豪斯多夫空间，则\(f^{-1}\)存在。
**知识点**：
- **紧致性定义**：集合中的每一个开覆盖都有一有限子覆盖。
- **豪斯多夫空间定义**：任意两个不同点都有包含它们的不相交开集。
- **连续双射**：函数既是连续的又是双射的。
**解题思路**：
1. 根据紧致性的定义分析\(X\)和\(Y\)的关系。
2. 考虑豪斯多夫空间的性质以及其在映射下的行为。
**答案**：
- I. 正确。由紧致性的性质可以得出\(Y\)也是紧致的。
- II. 正确。豪斯多夫空间的性质在连续映射下保持不变。
- III. 正确。由于\(X\)是紧致的且\(Y\)是豪斯多夫空间，所以\(f\)的逆函数存在。
#### 5. 线性变换性质
**题目描述**：设\(T, S\)都是从\(\mathbb{R}^n\)到\(\mathbb{R}^n\)上的线性变换，且满足\(TS = ST\)。判断以下命题是否正确：
- I. 未知。
- II. 设\(W\)是\(T\)的特征值集，则\(S(W) \subseteq W\)。
- III. 未知。
**知识点**：
- **线性变换**：一种特殊的函数，它保持了加法和标量乘法的性质。
- **特征值与特征向量**：对于线性变换\(T\)，如果存在非零向量\(v\)使得\(Tv = \lambda v\)，则称\(\lambda\)为\(T\)的特征值，\(v\)为相应的特征向量。
**解题思路**：
1. 根据线性变换的性质分析\(TS = ST\)的意义。
2. 考虑特征值和特征向量的性质。
**答案**：
- I. 未知。题目没有提供足够的信息来判断此命题。
- II. 正确。如果\(W\)是\(T\)的特征值集，则对于\(T\)的每一个特征值\(\lambda\)和对应的特征向量\(v\)，都有\(Tv = \lambda v\)。由于\(TS = ST\)，我们可以得出\(S(Tv) = T(Sv)\)，从而\(Sv\)也是\(T\)的一个特征向量。
- III. 未知。题目没有提供足够的信息来判断此命题。
以上是对给定题目中的部分知识点进行的详细解析。这些题目涉及了数学的多个领域，包括极限理论、几何图形面积、函数性质、函数空间性质以及线性变换性质等。通过这些题目，可以检验考生对相关知识点的理解和应用能力。
