【知识点详解】
1. **球的体积和表面积公式**：球的体积公式为 \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)，表面积公式为 \( A = 4\pi r^2 \)。题目中提到球的体积和表面积数值相等，即 \( \frac{4}{3}\pi r^3 = 4\pi r^2 \)，通过计算可得球的半径 \( r = 3 \)。
2. **直线平行的充要条件**：直线 \( ax+by+c=0 \) 与直线 \( dx+ey+f=0 \) 平行的充要条件是 \( \frac{a}{d}=\frac{b}{e} \neq \frac{c}{f} \)。题中 \( a=2 \) 时，直线 \( 2x+2y=0 \) 与 \( x+y=1 \) 是否平行取决于斜率是否相等，即 \( \frac{-2}{2} \) 是否等于 \( -1 \)，显然相等，所以 \( a=2 \) 是平行的充分必要条件。
3. **棱柱的定义**：棱柱的定义是至少有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。因此，第③个命题是正确的，选择 \( C \)。
4. **空间两点间距离公式**：在空间直角坐标系中，两点 \( A(x_1, y_1, z_1) \) 和 \( B(x_2, y_2, z_2) \) 之间的距离 \( d \) 由公式 \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \) 给出。点 \( A(1,0,1) \) 与点 \( B(2,1,-1) \) 之间的距离可以通过代入公式计算得出。
5. **圆与圆的位置关系**：两个圆的位置关系包括外离、相交、内切、外切四种情况。判断两圆位置关系主要看圆心距 \( d \) 与两圆半径之和或之差的关系。圆 \( C1: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \) 与圆 \( C2: (x-c)^2+(y-d)^2=s^2 \) 的位置关系可以通过比较 \( |d| \) 与 \( r+s \) 和 \( |r-s| \) 来确定。
6. **棱锥的体积**：棱锥的体积公式为 \( V = \frac{1}{3}Bh \)，其中 \( B \) 是底面面积，\( h \) 是高。根据三视图判断棱锥的底面形状和高，然后计算体积。
7. **圆的切线性质与最值问题**：切线的长度与点到圆心的距离有关，当该距离最小时，切线长也最小。利用点到直线的距离公式和勾股定理，可以找到切线最短的条件。
8. **外接圆方程**：过三点的圆的方程可以通过解三元一次方程组得到，或者利用圆的弦切角定理来求解。这里要求的是 \( A \), \( B \), \( O \) 三点构成的三角形的外接圆方程。
9. **空间中的平面与直线关系**：题目涉及了平面和平面、直线和直线之间的关系，这涉及到空间中的线面关系和面面关系，需要理解并应用相关定理来判断。
10. **切线性质与距离最值**：圆的切线性质表明切线长度与圆心到切点连线长度相等。求 \( PM \) 的最小值，实际上是在找点 \( P \) 到圆的最近距离，这是点到圆的切线的性质。
11. **三棱锥的外接球半径**：如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么三棱锥的外接球就是以这三条侧棱为棱的长方体的外接球。计算外接球半径需要找到长方体对角线的长度。
12. **涂色面积计算**：涂色面积是笔筒内外表面的总和，可以通过圆柱体的侧面积和两个底面积来计算。注意单位的转换，将涂色面积换算成平方米。
13. **两平行直线的距离**：两平行直线间的距离是固定不变的，可以通过构造平行线与直线的距离公式来求解。
14. **圆的标准方程**：圆心在 \( (a,b) \)，半径为 \( r \) 的圆的方程是 \( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \)。题目要求经过点 \( (-1,1) \)，代入求解 \( r \)。
15. **光路问题**：光路问题可以通过几何方法解决，找到光线反射的路径，计算长度。
16. **正方体的平面展开图**：正方体的平面展开图涉及到面与面之间的相对位置，通过分析面的相对位置，可以判断哪些边是平行、异面、垂直或相交。
17. **直线的倾斜角与方程**：直线的倾斜角与斜率有关，斜率为 \( \tan\theta \)，方程为 \( y=kx+b \)。题目给出了倾斜角和一个点，可以求出斜率和截距。
18. **线面平行与垂直的判定**：线面平行的判定可以通过线在面内的射影与另一线平行来证明；线线垂直的判定可以通过向量的数量积为零来证明；二面角的大小可以通过法向量的夹角来计算。
19. **直线截距式方程**：当直线在两坐标轴上的截距相等时，方程可以表示为 \( x+y=a \) 或 \( y=-x+a \)；对于面积最小值的问题，通常涉及二次函数的最值。
20. **多面体的性质与角的计算**：立体几何中的点线面关系，平面与平面的交线，以及角的计算，通常涉及空间向量的方法。
21. **圆的切线性质**：直线与圆相切的条件是直线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可以求解。
以上是题目中涉及的数学知识点详解，涵盖了立体几何、解析几何、直线与圆的性质、平面与线的关系等多个方面。这些内容是高中数学的重要组成部分，对理解和应用数学原理至关重要。
