三角函数公式大全

三角函数是数学中基本的函数之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个领域。它们描述了角度和直角坐标系中的点之间的关系，是解决周期性问题和几何问题的重要工具。以下是对标题“三角函数公式大全”中所涵盖的知识点的详细解释： 1. **两角和与差的三角函数**： - `cos(α+β)` = `cosα·cosβ` - `sinα·sinβ` - `cos(α-β)` = `cosα·cosβ` + `sinα·sinβ` - `sin(α±β)` = `sinα·cosβ` ± `cosα·sinβ` - `tan(α+β)` = `(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)` - `tan(α-β)` = `(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)` 这些公式允许我们计算两个角度之和或差的三角函数值，对于处理复杂的三角表达式非常有用。 2. **和差化积与积化和差**： - 和差化积公式将两角和差转化为单个角的三角函数乘积。 - 积化和差公式则相反，将乘积形式转化为和差形式。 3. **倍角公式**： - `sin(2α)` = `2sinα·cosα` = `2/(tanα+cotα)` - `cos(2α)` = `(cosα)^2 - (sinα)^2` = `2(cosα)^2 - 1` = `1 - 2(sinα)^2` - `tan(2α)` = `2tanα/(1-tan^2α)` - `cot(2α)` = `(cot^2α-1)/(2cotα)` - `sec(2α)` = `sec^2α/(1-tan^2α)` - `csc(2α)` = `1/2 * secα·cscα` 这些公式帮助我们找到一个角度的两倍的三角函数值，简化了计算。 4. **三倍角公式**： - `sin(3α)` = `3sinα-4sin^3α` = `4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)` - `cos(3α)` = `4cos^3α-3cosα` = `4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)` - `tan(3α)` = `(3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α)` = `tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)` - `cot(3α)` = `(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)` 这些公式适用于计算三倍角的三角函数值。 5. **n 倍角公式**： - 对于任意整数 n，我们可以找到 n 倍角的正弦、余弦的展开公式，用于求解更复杂的角度。 6. **半角公式**： - 这些公式提供了计算一个角度一半时的三角函数值，对于简化计算很有用。 7. **辅助角公式**： - `Asinα+Bcosα` = `√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）` - `Asinα+Bcosα` = `√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）` 辅助角公式有助于将复杂数学表达式转换为单一三角函数的形式。 8. **万能公式**： - 这些公式将正弦、余弦和正切表示为正切的一半的角度，简化了计算。 9. **降幂公式**： - `sin^2α` = `(1-cos(2α))/2` = `versin(2α)/2` - `cos^2α` = `(1+cos(2α))/2` = `covers(2α)/2` - `tan^2α` = `(1-cos(2α))/(1+cos(2α))` 降幂公式将平方形式的三角函数转换为更简单的形式，通常用于化简问题。 10. **三角和的三角函数**： - 提供了三个角的和的三角函数表达式，方便处理多个角度的组合。 除此之外，还有其他一些不常见的三角公式，如两角和与差的三角函数等。掌握这些公式是理解和应用三角函数的关键，特别是在工程和物理学中，三角函数常用来解决振动、波浪、光学和电磁学等问题。通过熟练运用这些公式，可以简化计算，提高问题解决的效率。