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背包九章(动态规划学习)
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2010-05-31
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背包九章论述了背包问题以及其衍生的动态规划问题,有一定的深度,尤其到后面几个章节。适合于志在acm的同仁们学习。
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P01: 01 背包问题
题目
有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是 c[i],价值是 w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即 f[i][v]表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以
获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下:“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问
题,若只考虑第 i 件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯
前 i-1 件物品的问题。如果不放第 i 件物品,那么问题就转化为“前 i-1 件物品放
入容量为 v 的背包中”,价值为 f[i-1][v];如果放第 i 件物品,那么问题就转化
为“前 i-1 件物品放入剩下的容量为 v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就
是 f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第 i 件物品获得的价值 w[i]。
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为 O(VN),其中时间复杂度应该已经不能再优
化了,但空间复杂度却可以优化到 O。
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环 i=1..N,每次算出来
二维数组 f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组 f[0..V],能不能保证
第 i 次循环结束后 f[v]中表示的就是我们定义的状态 f[i][v]呢?f[i][v]是由 f[i-
1][v]和 f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推 f[i][v]时(也即在第
i 次主循环中推 f[v]时)能够得到 f[i-1][v]和 f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这
要求在每次主循环中我们以 v=V..0 的顺序推 f[v],这样才能保证推 f[v]时 f[v-
c[i]]保存的是状态 f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:
for i=1..N
for v=V..0//这里必须是这个顺序,否则得到的 f[v]和 f[v-c[i]]是 f[v]
[v-c[i]]时的值
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程 f[i]
[v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的 f[v-c[i]]就相当于原来的 f[i-
1][v-c[i]]。如果将 v 的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了 f[i]
[v]由 f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题 P02
最
简捷的解决方案,故学习只用一维数组解 01 背包问题是十分必要的。
事实上,使用一维数组解 01 背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象
出一个处理一件 01 背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。
过程 ZeroOnePack,表示处理一件 01 背包中的物品,两个参数
cost、weight 分别表明这件物品的费用和价值。
procedure ZeroOnePack(cost,weight)
for v=V..cost
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成
v=V..0 是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复
杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。费用为
cost 的物品不会影响状态 f[0..cost-1],这是显然的。
有了这个过程以后,01 背包问题的伪代码就可以这样写:
for i=1..N
ZeroOnePack(c[i],w[i]);
初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的
题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。
一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了 f[0]为 0 其它
f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的 f[N]是一种恰好装满背包的最优
解。
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将
f[0..V]全部设为 0。
为什么呢?可以这样理解:初始化的 f 数组事实上就是在没有任何物品可以放
入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为 0 的背包
可能被价值为 0 的 nothing“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属
于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么
任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为 0,所以初始时
状态的值也就全部为 0 了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转
移之前的初始化进行讲解。
一个常数优化
前面的伪代码中有 for v=V..1,可以将这个循环的下限进行改进。
由于只需要最后 f[v]的值,倒推前一个物品,其实只要知道 f[v-w[n]]即可。以
此类推,对以第 j 个背包,其实只需要知道到 f[v-sum{w[j..n]}]即可,即代码
中的
for i=1..N
for v=V..0
可以改成
for i=1..n
bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}
for v=V..bound
这对于 V 比较大时是有用的。
小结
01 背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基
本思想,另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成 01 背包问题求解。故
一定要仔细体会上面基本思路的得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎
样优化的空间复杂度。
P02: 完全背包问题
题目
有 N 种物品和一个容量为 V 的背包,每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的
费用是 c[i],价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和
不超过背包容量,且价值总和最大。
基本思路
这个问题非常类似于 01
背包问题 ,所不同的是每种物品有无限件。也就是从
每种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取 0 件、
取 1 件、取 2 件……等很多种。如果仍然按照解 01 背包时的思路,令 f[i][v]
表示前 i 种物品恰放入一个容量为 v 的背包的最大权值。仍然可以按照每种物
品不同的策略写出状态转移方程,像这样:
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}
这跟 01 背包问题一样有 O(VN)个状态需要求解,但求解每个状态的时间已经
不是常数了,求解状态 f[i][v]的时间是 O(v/c[i]),总的复杂度可以认为是
O(V*Σ(V/c[i])),是比较大的。
将 01 背包问题的基本思路加以改进,得到了这样一个清晰的方法。这说明 01
背包问题的方程的确是很重要,可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试
图改进这个复杂度。
一个简单有效的优化
完全背包问题有一个很简单有效的优化,是这样的:若两件物品 i、j 满足
c[i]<=c[j]且 w[i]>=w[j],则将物品 j 去掉,不用考虑。这个优化的正确性显
然:任何情况下都可将价值小费用高得 j 换成物美价廉的 i,得到至少不会更差
的方案。对于随机生成的数据,这个方法往往会大大减少物品的件数,从而加
快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度,因为有可能特别设计的数据
可以一件物品也去不掉。
这个优化可以简单的 O(N^2)地实现,一般都可以承受。另外,针对背包问题
而言,比较不错的一种方法是:首先将费用大于 V 的物品去掉,然后使用类似
计数排序的做法,计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个,可以 O(V+N)
地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了,希望你能独立思考
写出伪代码或程序。
转化为 01 背包问题求解
既然 01 背包问题是最基本的背包问题,那么我们可以考虑把完全背包问题转
化为 01 背包问题来解。最简单的想法是,考虑到第 i 种物品最多选 V/c[i]件,
于是可以把第 i 种物品转化为 V/c[i]件费用及价值均不变的物品,然后求解这个
01 背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度,但这毕竟给了我们将
完全背包问题转化为 01 背包问题的思路:将一种物品拆成多件物品。
更高效的转化方法是:把第 i 种物品拆成费用为 c[i]*2^k、价值为 w[i]*2^k
的若干件物品,其中 k 满足 c[i]*2^k<=V。这是二进制的思想,因为不管最
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- ninshine2014-01-13非常不错,适合noip选手
kosko
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