拟牛顿法线性搜索

拟牛顿法线性搜索 拟牛顿法是一种优化算法，用于寻找目标函数的最小值。它是牛顿法的直接推广，通过在试探点附近的二次逼近引进牛顿条件来确定线搜索方向。 拟牛顿法的优点是可以克服牛顿法的缺点，例如要求海森矩阵可逆和计算二阶导数和逆矩阵，这增加了计算机计算量。拟牛顿法可以保持较快收敛速度的优点，同时减少计算量。 拟牛顿法的基本步骤为： 1. 给定初始点，初始对称正定矩阵及精度。 2. 计算搜索方向。 3. 作直线搜索，计算。 4. 判断终止准则是否满足。 5. 令置，转步骤（2）。 拟牛顿法有多种形式，本文主要介绍两种拟牛顿法：DFP算法和BFGS算法。 DFP算法的基本步骤为： 1. 给定初始点，初始矩阵及精度。 2. 若，则停止，极小点为否则转步骤3）。 3. 取，且令。 4. 用一维搜索法求，使得，令，转步骤5）。 5. 停止，极小值点为否则转步骤6）。 6. 若，令，转步骤3）。 7. 令，取，置，转步骤4）。 BFGS算法的基本步骤与DFP算法类似，但有一些不同之处。 拟牛顿法的MATLAB程序调用格式为： function [x,minf]=minDFP(f,x0,var,eps) 其中，f为目标函数，x0为初始点，var为自变量向量，eps为精度，x为目标函数取最小值时的自变量值，minf为目标函数的最小值。 在MATLAB中，拟牛顿法的实现可以使用以下代码： function [x,minf]=minDFP(f,x0,var,eps) %目标函数:f; %初始点:x0; %自变量向量:var; %精度:eps; %目标函数取最小值时的自变量值:x; %目标函数的最小值:minf; format long; if nargin==3 eps=1.0e-6; end x0=transpose(x0); n=length(var); syms l; H=eye(n,n); gradf=jacobian(f,var); v0=Funval(gradf,var,x0); p=-H*transpose(v0); k=0; while 1 v=Funval(gradf,var,x0); tol=norm(v); if tol<=eps x=x0; break; end y=x0+l*p; yf=Funval(f,var,y); [a,b]=minJT(yf,0,0.1); xm=minHJ(yf,a,b); x1=x0+xm*p; vk=Funval(gradf,var,x1); tol=norm(vk); if tol<=eps x=x1; break; end if k+1==n x0=x1; continue; else dx=x1-x0; dgf=vk-v; dgf=transpose(dgf); dxT=transpose(dx); dgfT=transpose(dgf); mdx=dx*dxT; mdgf=dgf*dgfT; fz=H*(dgf*(dgfT*H)); H=H+mdx/(dxT*dgf)-inv(dgfT*(H*dgf))*fz; p=-H*transpose(vk); k=k+1; x0=x1; end end minf=Funval(f,var,x); format short; 同样，BFGS算法的MATLAB程序调用格式也类似。 拟牛顿法是一种高效的优化算法，广泛应用于科学计算、机器学习、数据分析等领域。