【高等数学基础概念】
高等数学是数学中的一个重要分支，对于考研数学来说，它是不可或缺的基础部分。本讲义主要涵盖了函数、极限、连续等基础知识，这些都是考研数学中的核心考点。
1. **函数的概念**：
函数是数学中的基本概念，描述了两个集合之间的一种特定关系。如果一个非空实数集D上的每个元素x，都有唯一确定的实数y与之对应，那么这个关系就是一个函数，记为y=f(x)。自变量x的集合称为函数的定义域，对应的y值集合称为值域。分段函数是特殊类型的函数，当x的不同取值需用不同表达式表示时，就需要考虑分段函数。分段函数的连续性、极限和导数问题需分别对待左、右极限。
2. **基本初等函数**：
包括常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。这些函数是构建更复杂函数的基础，如指数函数e^x和自然对数ln(x)在微积分中具有重要作用。理解这些函数的性质和图像对于解决实际问题至关重要。
3. **复合函数与初等函数**：
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。初等函数是通过有限次的四则运算和复合从基本初等函数构建出来的，可以用一个解析表达式表示。
4. **函数的性质**：
- **有界性**：函数在某个区间内的值不超过特定界限，说明函数是有界的。
- **奇偶性**：如果函数满足f(-x)=±f(x)，则函数为奇函数或偶函数，其图像具有对称性。
- **单调性**：函数在区间内单调递增或递减，表明其值随自变量的增加而相应增加或减少。
- **周期性**：函数f(x+T)=f(x)，其中T为常数，那么f(x)是周期函数，T为其周期。
【典型例题解析】
在考研数学中，题目通常会围绕以上知识点进行设计，比如求函数的定义域、值域，以及处理复合函数等问题。例如，求解函数定义域时，需要确保所有内部表达式都有定义，同时考虑分母不为零等限制条件。求值域则可能需要利用函数的性质，如通过求反函数或利用函数的有界性来求解。复合函数的求解涉及到函数的代入和运算，而从已知复合函数求原函数则需要用到换元法。
总结起来，考研数学中的高等数学部分要求考生对基本概念有深入理解，能熟练掌握函数的各种性质，并能灵活应用到解题中。此外，对基本初等函数的性质和图像的熟悉，以及对复合函数和初等函数的理解，都是备考的关键。通过大量练习和深入理解，考生可以提升在这一部分的得分能力。
