快速傅里叶变换！！！！

"快速傅里叶变换" 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的离散傅里叶变换算法，用于快速计算多项式乘法。该算法的核心思想是使用分治思想和复数理论，将多项式乘法问题转化为复数域中的乘法问题，从而大幅度提高计算速度。 第一部分：分治思想 分治思想是快速傅里叶变换的核心思想。对于多项式A(x)和B(x)，我们可以将其分解成两个较小的多项式A0(x)和A1(x)，B0(x)和B1(x)，然后使用递归的方法计算A(x)和B(x)的乘积。这种方法可以将计算时间从O(n^2)降低到O(n log n)。 第二部分：引入复数 在快速傅里叶变换中，我们引入了复数理论。我们知道，复数可以表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。我们可以使用复数来表示多项式的系数，从而将多项式乘法问题转化为复数域中的乘法问题。 第三部分：IFFT IFFT（Inverse Fast Fourier Transform）是快速傅里叶变换的逆运算。它将值表示法转化成系数表示法，从而实现多项式乘法的逆运算。 优化 在实现快速傅里叶变换时，我们需要注意一些优化技巧。例如，我们可以使用迭代代替递归，减少空间复杂度并提高计算速度。此外，我们还可以使用蝶形优化，减少计算时间。 代码实现 下面是快速傅里叶变换的代码实现： ```cpp #include <cstdio> #include <string> #include <complex> #include <cmath> #include <cstring> #define clear(a) memset(a, 0, sizeof a) using namespace std; typedef complex<double> comp; void fio(string file); const int N = (1 << 21) + 5; struct poly { comp f[N]; poly() { clear(f); } comp operator[](int x) { return f[x]; } }; ``` 快速傅里叶变换是一种高效的离散傅里叶变换算法，用于快速计算多项式乘法。它的核心思想是使用分治思想和复数理论，将多项式乘法问题转化为复数域中的乘法问题，从而大幅度提高计算速度。