数学模型第三版答案（详细版）

根据给定文件的信息，我们可以提炼出以下几个主要的知识点： ### 数学模型中委员会席位分配的方法 #### 1. 按比例分配方法 - **原理**：首先根据每个宿舍人数占总人数的比例来初步分配席位，剩余的小数部分按照大小顺序依次给予额外的席位。 - **应用**：假设学校共有1000名学生，分别住在A、B、C三个宿舍，人数分别为235、333和432人。若需要选举10人组成委员会，则首先按比例分配席位。 - **计算公式**： \[ p_i = \frac{人口_i}{总人口}, q_i = \left\lfloor p_i \times N \right\rfloor + \text{小数部分排序后的排名} \] 其中，\(N\)表示委员会席位总数；\(\left\lfloor x \right\rfloor\)表示向下取整。 - **具体步骤**： - 计算每个宿舍所占的比例：\(p_1 = 0.235, p_2 = 0.333, p_3 = 0.432\) - 计算初步分配的席位数：\(n_1 = 2, n_2 = 3, n_3 = 4\) - 将剩余的小数部分按大小排序，并依次分配剩余的席位：最终结果为A宿舍2席、B宿舍3席、C宿舍5席。 #### 2. Q值方法 - **原理**：类似于按比例分配方法，但最后一席位的分配基于“Q值”进行决定。Q值计算公式为：\(Q_i = \frac{人口_i}{(席位_i + 1)}\)，其中\(席位_i\)为该宿舍已分配的席位数。 - **具体步骤**： - 前9个席位的分配与按比例分配方法相同。 - 第10个席位通过比较各宿舍的Q值确定归属。在此案例中，C宿舍的Q值最大，因此第10个席位分配给C宿舍。 #### 3. d'Hondt方法 - **原理**：采用逐步降低标准的方式分配席位。首先计算每个宿舍人数除以1至当前分配席位数的序列，然后选取商最大的前\(N\)个数值对应的宿舍分配席位。 - **具体步骤**： - 计算每个宿舍人数除以1至当前分配席位数的序列。 - 选取最大的10个数值，对应的宿舍即为分配席位的宿舍。 - 最终结果与Q值方法相同，即A宿舍2席、B宿舍3席、C宿舍5席。 ### 数学建模实例分析 #### 1. 录像带记数器读数与时间的关系 - **问题描述**：建立录像带记数器读数\(n\)与转过时间\(t\)的数学模型。 - **解决思路**：根据题目条件，可以设定录像带转过的长度与时间的关系，并利用微积分求解。 - **数学模型**： - 设录像带记数器读数为\(n\)时，录像带转过时间为\(t\)。 - 考虑\(t\)到\(t+\Delta t\)时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，得出\(d(n)=2\pi k(r+wn)d(t)\)，其中\(k\)、\(r\)、\(w\)均为常数。 - 对上式两边进行积分，得出\(n\)与\(t\)之间的关系式。 - 结果为\(n = \sqrt{\frac{v^2t^2}{\pi^2} + \frac{k^2r^2}{w^2}} - \frac{kr}{w}\)。 #### 2. 风车获得功率与参数的关系 - **问题描述**：确定风车获得的功率\(P\)与速度\(v\)、迎风面积\(S\)、空气密度\(\rho\)的关系。 - **解决思路**：利用量纲分析法，通过量纲的一致性推导出未知量之间的函数关系。 - **数学模型**： - 设\(P = f(v, S, \rho)\)。 - 通过量纲分析，得出\(P\)与\(v\)、\(S\)、\(\rho\)之间的确切函数形式为\(P = C\rho Sv^3\)，其中\(C\)为无量纲常数。 #### 3. 雨滴速度与参数的关系 - **问题描述**：给出雨滴速度\(v\)与空气密度\(\rho\)、粘滞系数\(\mu\)和重力加速度\(g\)之间的关系。 - **解决思路**：同样采用量纲分析法。 - **数学模型**： - 设\(v = f(\rho, \mu, g)\)。 - 通过量纲分析，得出\(v\)与\(\rho\)、\(\mu\)、\(g\)之间的确切函数形式为\(v = C\sqrt{\frac{g}{\mu/\rho}}\)，其中\(C\)为无量纲常数。