### 山东大学机器学习实验报告知识点解析
#### 实验背景
本次实验是山东大学计算机科学与技术学院开设的机器学习课程的一部分，旨在通过实践加深学生对机器学习中极大似然估计与贝叶斯参数估计的理解。
#### 实验目标
1. **极大似然估计**：
- 一维情形下求解高斯模型的均值和方差的最大似然估计。
- 多元情形下求解高斯模型的均值向量和协方差矩阵的最大似然估计。
2. **贝叶斯参数估计**：
- 对于由两个标量参数控制的三角形密度模型，利用贝叶斯方法计算后验密度函数。
#### 重要概念解析
### 1. 极大似然估计（MLE）
#### 1.1 一维高斯模型
- **目标**：求解高斯分布的均值\( \hat{\mu} \)和方差\( \hat{\sigma}^2 \)的最大似然估计。
- **公式**：
- 均值：\( \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k \)
- 方差：\( \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k - \hat{\mu})^2 \)
#### 1.2 多元高斯模型
- **目标**：在二维和三维数据集上求解高斯分布的均值向量\( \hat{\boldsymbol{\mu}} \)和协方差矩阵\( \hat{\boldsymbol{\Sigma}} \)的最大似然估计。
- **公式**：
- 均值向量：\( \hat{\boldsymbol{\mu}} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathbf{x}_k \)
- 协方差矩阵：\( \hat{\boldsymbol{\Sigma}} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(\mathbf{x}_k - \hat{\boldsymbol{\mu}})(\mathbf{x}_k - \hat{\boldsymbol{\mu}})^T \)
#### 1.3 特征组合分析
- 分析不同特征组合下的均值和协方差估计的异同，并解释其原因。
#### 1.4 可分离模型
- 当协方差矩阵是对角矩阵时，每个维度的特征相互独立。
- 求解此类模型的均值和方差的最大似然估计。
### 2. 贝叶斯参数估计
#### 2.1 理论基础
- **后验密度函数**：利用贝叶斯公式计算后验密度函数\( p(\theta|D) \)。
- **先验分布**：假设参数\( \theta \)服从正态分布\( N(\mu_0,\boldsymbol{\Sigma}_0) \)。
- **似然函数**：基于给定数据集\( D \)的似然函数\( p(D|\theta) \)。
#### 2.2 实践应用
- **目标**：对于特定的数据集\( D \)，计算后验密度函数\( p(x|D) \)。
- **计算过程**：
- 计算似然函数\( p(D|\theta) \)。
- 计算先验分布\( p(\theta) \)。
- 利用贝叶斯公式计算后验密度函数\( p(\theta|D) \)。
- 最终求得\( p(x|D) \)。
#### 2.3 参数估计
- **三角形密度模型**：给定由两个参数\( (\mu, \delta) \)控制的三角形密度函数\( p(x|\theta) \)。
- **计算步骤**：
- 确定参数\( \theta \)的取值范围。
- 应用贝叶斯公式计算后验密度函数\( p(\theta|D) \)。
- 绘制后验密度函数的图形。
### 3. 实验环境
- **软件**：MATLAB 2014a
- **操作系统**：Windows 10 专业版
### 4. 实验总结
- 通过本次实验，学生不仅掌握了极大似然估计和贝叶斯参数估计的基本原理，还学会了如何在实际数据集上应用这些理论进行参数估计。
- 通过对比不同维度数据下的参数估计结果，学生能够更深入地理解这些统计方法在不同情况下的应用差异。
- 实验还涉及了三角形密度模型的贝叶斯参数估计，进一步拓展了学生的知识面。
### 5. 实验感悟
- 通过实际操作，学生更加深刻地理解了频率学派与贝叶斯学派的不同之处及其在参数估计中的应用。
- 实验不仅提高了学生的编程技能，还增强了他们解决实际问题的能力。
- 学生还学会了如何从数据中提取有用的信息，这对于未来的科研和工作都是非常有益的。
