ACM程序设计常用算法与数据结构参考

### ACM程序设计常用算法与数据结构知识点概览 #### 排序算法 在计算机科学领域，排序算法是解决数据组织的重要工具。对于ACM程序设计竞赛而言，掌握各种高效的排序算法至关重要。 - **插入排序**：插入排序是一种简单直观的排序算法。其工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上通常采用in-place排序（即只需用到O(1)的额外空间的排序），若经过j次比较后，j>=i，则无需比较。该算法的时间复杂度为O(n^2)，但在部分排序的数据上表现良好。 - **选择排序**：选择排序算法的工作原理是遍历列表以查找最小（或最大）元素，将其放置于排序序列的起始位置，然后从剩余未排序的元素中继续寻找最小（或最大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。 - **冒泡排序**：冒泡排序是一种简单的排序算法。它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。时间复杂度为O(n^2)，但当数据部分有序时效率会有所提升。 - **希尔排序**：希尔排序是插入排序的一种更高效的改进版本。也称为缩小增量排序。它通过将比较的全部元素分为几个区域来提升插入排序的性能。每个区域使用普通的插入排序。但随着索引的不同，各区域中的元素不一定相邻。初始时，增量较大，每次可以将记录移动很远的距离。最后当增量减至1时，算法便成为简单的插入排序，但此时待排序的记录基本有序，因此效率较高。希尔排序的时间复杂度取决于增量序列的选择，一般介于O(n log n)和O(n^(3/2))之间。 - **随机化快速排序**：快速排序是一种非常高效的排序算法，采用了分治策略来把一个序列分为较小的两个子序列。具体操作为，选择一个“基准”元素，通过一趟排序将待排记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序的目的。随机化快速排序通过随机选取基准值来优化性能，减少最坏情况的发生概率。平均时间复杂度为O(n log n)。 - **归并排序**：归并排序是一种典型的分治思想的应用。它将数组分成两半，递归地对每一半进行排序，然后将结果合并起来。归并排序的稳定性和效率使其在处理大数据集时表现出色。时间复杂度为O(n log n)。 - **堆排序**：堆排序也是一种基于比较的排序算法。堆是一种特殊的完全二叉树结构，可以是最大堆或最小堆。堆排序首先构建一个堆结构，然后不断地将堆顶元素与最后一个元素交换，减少堆的大小，并重新调整堆结构，直至排序完成。堆排序的时间复杂度为O(n log n)。 #### 大整数处理 大整数处理是计算机编程中经常遇到的问题之一，尤其是在ACM程序设计竞赛中。由于标准整型变量所能表示的数值范围有限，当处理非常大的整数时就需要使用特殊的方法。 - **包含头文件**：在C++中处理大整数时，通常需要自定义数据类型或使用现有的库。为了实现这一功能，可能需要包含自定义的头文件或第三方库的头文件。 - **定义**：定义一个能够存储大整数的数据结构是非常重要的。这通常涉及到使用动态数组、链表或其他自定义的数据结构来存储数字的每一位。 - **实现**：实现大整数的算术运算包括加法、减法、乘法等。这些操作的实现通常需要考虑进位、借位等问题，并且要能够正确处理边界条件。 - **加法**：大整数加法通常按照每一位相加的原则进行，注意处理进位的情况。 - **乘法**：大整数乘法同样需要逐位相乘，并考虑进位的问题。常见的方法包括Karatsuba算法等快速乘法。 - **减法**：大整数减法需要处理借位的情况，确保每一位的结果都是正确的。 - **转换函数**：实现大整数与字符串之间的相互转换也是必要的。这有助于读入大整数或将结果输出。 - **规范化符号化**：在处理带有符号的大整数时，需要特别关注符号位的处理，确保所有的数学运算都能正确地处理正负号。 - **带符号乘法/减法**：带符号的乘法和减法操作除了需要处理一般的乘法和减法逻辑外，还需要正确处理正负号的变化。 - **浮点运算**：虽然在大多数ACM比赛中处理浮点数不是主要需求，但是了解如何实现大整数的浮点运算是有价值的。 #### 高级数据结构 高级数据结构是指那些具有复杂特性和高效操作的数据结构。在ACM程序设计竞赛中，掌握这些数据结构能够帮助参赛者解决更为复杂的问题。 - **普通二叉搜索树**：二叉搜索树是一种重要的数据结构，其中每个节点的值都大于其左子树中的任何节点的值，并小于其右子树中的任何节点的值。二叉搜索树支持快速查找、插入和删除操作，但最坏情况下时间复杂度可能退化为O(n)。为了保持树的平衡，可以使用自平衡二叉搜索树如AVL树或红黑树。 - **定义**：定义一个二叉搜索树节点通常包括值、指向左右子节点的指针等成员。 - **实现**：实现二叉搜索树的操作如插入、删除和查找等。 - **复制树/求树的高度/求叶子的个数/删除元素**：这些操作是二叉搜索树中常见的功能，用于管理和维护树的结构。 - **基本线段树/并查集**：线段树是一种用于区间查询和更新操作的数据结构，而并查集则常用于处理集合的合并与查询问题。这两种数据结构都是ACM竞赛中常用的高级数据结构。 - **散列实现**：散列是一种将数据映射到固定大小值的技术，广泛应用于ACM竞赛中，用于快速查找和处理大量数据。 - **堆**：堆是一种树形数据结构，常用于实现优先队列。在ACM竞赛中，堆被用来解决涉及优先级排序的问题。 #### 图相关算法 图算法在ACM程序设计竞赛中占有重要地位，包括图的遍历、最小生成树、最短路径等经典问题。 - **图的深度优先和广度优先算法**：图的遍历是探索图中节点的基本方法，包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。DFS用于解决可达性问题，而BFS则用于寻找最短路径。 - **无向图最小生成树**：最小生成树是在无向图中找出一棵包含所有顶点的权值最小的树。常用的算法有Kruskal算法和Prim算法。 - **Kruskal算法**：该算法通过从小到大选择边来构造最小生成树，避免形成环路。 - **Prim算法**：Prim算法从某个顶点出发，逐步扩展树，直到所有顶点都被包含。 - **有向图的单源最短路径/Dijkstra算法**：Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的经典算法，适用于非负权重的有向图。 - **有向图的多源最短路径/Floyd算法**：Floyd算法可以解决任意两点间的最短路径问题，适用于含有负权重边的图。 - **拓扑排序/AOE网**：拓扑排序是对有向无环图(DAG)进行排序的过程，使得对于每条有向边u->v，都有u在v之前。AOE网(Activity-on-edge Network)用于解决工程项目的计划和调度问题。 - **求图的一个中心/多个中心**：图的中心是指距离图中所有其他顶点距离之和最小的顶点。求图的中心问题通常出现在网络设计等领域。 - **SPFA算法**：SPFA算法是一种用于求解最短路径的算法，特别是对于含有负权重边的图，它是一种改进版的Bellman-Ford算法。 - **割顶和块的算法**：割顶和块的概念用于分析图的连通性和结构特性。割顶是指移除它会导致图不连通的顶点；而块是指一个连通的子图，移除任何顶点都不会使它变得不连通。 #### 计算几何算法 计算几何是一门研究几何对象及其性质的学科，它的应用十分广泛，尤其是在图形学和算法设计领域。在ACM程序设计竞赛中，计算几何问题也是一个常见的主题。 - **向量模/点积/叉积**：向量的模、点积和叉积是计算几何中的基本概念，用于计算向量的长度、角度和方向等。 - **左右判断/相交判断**：这些操作用于判断两条直线是否相交以及它们之间的相对位置关系。 - **正规相交交点**：当两条线段相交时，计算它们的交点坐标。 - **判断多边形凸**：确定一个多边形是否为凸多边形是计算几何中的一个重要问题，可以通过检查所有内角是否小于180度来实现。 - **任意多变形面积**：计算任意多边形的面积是另一个常见问题，可以利用叉积来实现。 - **凸包问题的快包实现**：凸包是指包含一组点的最小凸多边形。快包算法是一种高效的计算凸包的方法。 #### STL算法参考 STL（Standard Template Library）是C++标准库的一部分，提供了大量的容器和算法，极大地简化了程序设计。 - **accumulate()/adjacent_difference()/adjacent_find()**：这些函数用于计算序列的累积和、相邻元素差值和查找相邻相等的元素等。 - **binary_search()/copy()/copy_backward()/count()**：这些函数用于搜索序列中的元素、复制元素、统计元素出现次数等。 - **find()/find_if()/find_end()/find_first_of()**：用于查找满足特定条件的元素、子序列等。 - **for_each()/generate()/generate_n()**：用于对序列中的每个元素执行某个操作、生成特定序列等。 - **includes()/inner_product()/inplace_merge()**：用于检查一个序列是否包含另一个序列的所有元素、计算序列的内积、就地合并两个已排序的序列等。 - **iter_swap()/lexicographical_compare()/lower_bound()**：用于交换迭代器指向的元素、比较两个序列的字典序、查找第一个大于等于给定值的元素的位置等。 - **max()/max_element()/min()/min_element()**：用于查找序列中的最大值、最大元素、最小值、最小元素等。 - **merge()/mismatch()**：用于合并两个已排序的序列、查找两个序列的第一个不匹配元素等。 - **next_permutation()/nth_element()**：用于生成序列的下一个排列、将第n个元素放在正确位置等。 - **partial_sort()/partial_sort_copy()**：用于部分排序序列或拷贝序列的一部分。 - **partial_sum()/prev_permutation()**：用于计算序列的部分和、生成序列的前一个排列等。 - **random_shuffle()/remove()/remove_if()**：用于随机重排序列、删除序列中的元素等。 - **replace()/reverse()/reverse_copy()**：用于替换序列中的元素、反转序列等。 - **rotate()/rotate_copy()**：用于旋转序列中的元素。 - **search()/search_n()/set_difference()/set_intersection()/set_symmetric_difference()/set_union()**：用于查找子序列、计算集合的差集、交集、对称差集和并集等。 - **sort()/stable_partition()/stable_sort()**：用于排序序列、按条件稳定划分序列、稳定排序序列等。 - **swap()/swap_range()**：用于交换两个元素、交换两个序列等。 - **transform()/unique()**：用于转换序列中的元素、去除序列中的重复元素等。 - **upper_bound()/make_heap()/pop_heap()/push_heap()/sort_heap()**：用于查找第一个大于给定值的元素的位置、构建堆、弹出堆顶元素、将元素推入堆、排序堆等。 #### 字符串处理 字符串处理是计算机科学中的基础内容之一，在ACM程序设计竞赛中非常重要。 - **KMP算法**：KMP算法是一种高效的字符串匹配算法，用于在一个文本串中查找模式串。它通过预处理模式串来减少不必要的比较，从而提高匹配效率。 以上列举的算法和数据结构是ACM程序设计竞赛中常用的工具和技术，掌握它们能够帮助参赛者更好地解决问题。