"统计学常用分布及其分位数"
统计学常用分布是指在统计学中经常使用的概率分布,包括卡方分布、t 分布、F 分布等。这些分布都是由正态分布所导出的,都是试验统计中常用的分布。
卡方分布
卡方分布是指自由度等于 n 的分布,记作 Z~(n),它的分布密度为p(z)=式中的=,称为 Gamma 函数,且=1, =。分布是非对称分布,具有可加性,即当Y 与 Z 相互独立,且 Y~(n),Z~(m),则 Y+Z~(n+m)。卡方分布广泛应用于假设检验和置信区间估计中。
t 分布
t 分布是指自由度等于 n 的 t 分布,记作 Z ~ t (n),它的分布密度为P(z)。t 分布的分布密度也是偶函数,且当 n〉30 时,t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时,t 分布的分布函数值可以查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。t 分布广泛应用于小样本统计分析和置信区间估计中。
F 分布
F 分布是指第一自由度等于 n、第二自由度等于 m 的 F 分布,记作 Z~F (n, m),它的分布密度为p(z)。F 分布也是非对称分布,它的分布密度与自由度的次序有关,当 Z~F (n, m)时,~F (m ,n)。F 分布广泛应用于方差分析和协方差分析中。
t 分布与 F 分布的关系
t 分布与 F 分布之间存在着密切的关系。如果 X~t(n),则 Y=X ~F(1,n)。这意味着,t 分布可以转换为 F 分布,从而方便地应用于实际问题中。
分位数
分位数是指在随机变量的分布函数中,满足一定条件的值。常用的分位数有 α 分位数、上侧 α 分位数、双侧 α 分位数等。分位数广泛应用于假设检验和置信区间估计中。
标准正态分布的 α 分位数
标准正态分布的 α 分位数记作 uα,0.5α 分位数记作u 0.5α,1-0.5α 分位数记作 u 1-0.5α。当 X~N(0,1)时,P{X< uα}=F 0,1(uα)=α,P{X<u 0.5α}= F 0,1 (u 0.5α)=0.5α,P{X<u 1-0.5α}= F 0,1 (u 1-0.5α)=1-0.5α。根据标准正态分布密度曲线的对称性,当 α=0.5 时,uα=0;当 α<0.5 时,uα〈0, uα=-u 1—α。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出 u 1-α,然后得到 uα=-u 1—α。
统计学常用分布及其分位数是统计学中非常重要的概念,它们广泛应用于假设检验、置信区间估计、方差分析和协方差分析等领域。