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SARS传播的数学模型55710.doc
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SARS传播的数学模型55710.doc
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SARS 传播的数学模型
摘 要
通过对题目附件 1 的 SARS 模型进行分析和评价,加深了对 SARS 的认识和了解。
根据传染病的传播特点,建立了关于 SARS 病人率和疑似病人率两个常微分方程模型
以所给数据为基本依据,用 Matlab 软件进行数值计算,与图形模拟方法求得模型中的
有关参数。当 λ
1
=1.5 和 λ
2
=1 时,理论图形与实际图形有良好的吻合,分别得到了
SARS 病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图,能正确地预测它们的发展趋
势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性,λ
1
的值作微小的改变对于整个疫情的
发展有很大的影响,所以政府采取对 SARS 疫情的有关措施是完全正确的。本文重点
分析了关于 SARS 病人率的模型一,根据求得的参数,利用相轨线理论对结果加以分
析并对整个疫情作出预测,并推论出 SARS 病人率关于 t 的表达式 i(t),然后提出了对
传染病的控制方案,同时列举了具体方法,并论证了方法的合理性和可行性,用其它
地区的数据对模型进行检验,说明模型的参数有区域性。
关键词:SARS 微分方程 曲线拟合 数学模型 相轨线
本文首先分析评价了附件 1 中 SARS 传播的数学模型,指出该模型可以对疫情走
势进行预测,但同时也存在一定缺点,第一,混淆了累计病例数与累计确诊人数的概念;
第二,对参数的确定缺乏根据;第三,预测时借助了其他地区的参数,偏差较大. 本
文针对其缺点建立了一个比较完善的传播模型. 该传播模型按政府开始控制的时刻分为
控制前与控制后两个模型,两个模型均以潜伏期 5 天为周期,以一个周期为整体建立
差分方程模型. 再结合 5 月 15 日以前北京疫情的公开数据,配合不同的政府监控力度,
对整个北京的 SARS 疫情状况进行了预测.预计政府的监控力度一直保持在 5 月 10 日
-5 月 15 日的水平上时,6 月 10 日-6 月 15 日北京将会无新增病例,最后累积病例
数为 2993.对卫生部门采取的措施进行了评价:若提前或延后 5 天采取严格的隔离措
施最后累计病例数分别为 1300 多与 5200 左右. 进一步通过对人群的不同分类,建
立了两个微分方程组,可分别预测出实际发病人数、不可控 /可控带菌者人数与当天疑
似病例数、累计确诊人数、不可控/可控带菌者人数及治愈、死亡人数,结合两者的信
息就可以得到足够的信息量.但模型中的部分参数无法确定给模型求解带来困难.可以通
过搜集更多的数据和资料加以解决. 本文同时就外国来京旅游人数受 SARS 的影响,
建立了模型,估算出 4、5、6、7 四个月中北京地区入境旅游人数比往年同期减少了
94.8 万人,旅游经济损在 4.74 亿美元至 9.48 亿美元之间.并预测出在 2003 年 10 月
上旬,旅游人数将恢复到正常水平. 最后给报纸写了一篇短文,说明了建立传染病数
学模型的必要性与重要性. 一、问题的提出 公元 2003 年春天,一种叫 SARS 的病毒
从天而降,降到人类赖以生存的星球,降到中国人的头上.SARS 究竟是什么,它为什
么会代给人类这么多的伤痛与如此难以“磨灭”的印象? SARS(Severe Acute
Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合症, 俗称:非典型肺炎)是 21 世纪第
一个在世界范围内传播的传染病.SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带
来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的
传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性.现需对 SARS 的传播建立数学
模型,具体要求如下:
(1)对附件 1 所提供的一个早期的模型,评价其合理性和实用性.
(2)建立自己的模型,说明为什么优于附件 1 中的模型;特别要说明怎样才能建
立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型,这样做的困
难在哪里?对于卫生部门所采取的措施做出评论,如:提前或延后 5 天采取严格的隔
离措施,对疫情传播所造成的影响做出估计.附件 2 提供的数据供参考.
(3)收集 SARS 对经济某个方面影响的数据,建立相应的数学模型并进行预测.
附件 3 提供的数据供参考.
(4)给当地报刊写一篇通俗短文,说明建立传染病数学模型的重要性.
474050000(美元) 948100000(美元) 海外旅游接待人数减少 948100 人
上面仅就北京的海外旅游接客人数进行预测分析,从而不难看出,这场非典灾难对旅
游业造成的损失相当巨大。 5. 对经济其它方面的影响 据有关资料显示: 非典对
旅游业的影响预计在600亿元左右.非典对零售业的影响预计在10%左右.非典对零
售业的冲击主要是使消费者信心受挫,压抑消费者的消费心理.我但从全年来说,预计
损失在10%左右.非典对餐饮业的影响约为15%以上.非典对建筑业的影响相对滞后
由于建筑业关联性较大,对经济可能产生滞后影响.随着非典疫情的控制,估计8月份
以后,影响将逐渐减弱.非典对房地产业具有潜在影响.目前由于非典影响,使北京市房
地产即期销售减少,新开工和部分在建工程进度可能延迟,开发商资金压力较大,银
行利息增加,具有潜在影响.医药、通讯、保险行业受益较大. 根据上面的资料显示以
及对旅游业的定量分析,我们认为非典对北京第业冲击较小,预计仍保持稳定增长趋
势;对第二产业总体影响有一定的滞后期.第三产业短期内受冲击比较大是不可避免的,
尤以旅游及其相关行业损失最大.但因消费需求具有较强的惯性和刚性,不会长期压抑.
6 .模型的推广 本模型还可以研究许多传染病(如水痘,腮腺炎等)的传播规律,为
相关部门提供较合理的病情传播信息,以更好地制定在传染病流行期间,给单位部门
的防止措施和生产计划! 7.模型的评价 (1) 利用“时间序列法”预测在没有非典情况下,
2003 年北京市每月海外旅游者 的接客数量,并得到了合理的结果。 (2) 根据旅游业
的自身特点和大众消费心理,用二次曲线 对 从高峰期开始的数据进行最小二乘拟合,
在实际情况(出现非典)下进行预测。通过大量资料的调查,可以表明预测结果是合
理的。 (3) 我们搜集了有关海外旅游人员在国内的平均消费量数据,并以此算出在非
典时 期,该旅游行业的总损失。根据得到的结果,可以更形象地说明非典对旅游业造
成的巨大负面影响! (4) 我们仅对在非典时期北京市接待海外旅游者的人数建立数学
模型,还有对其它 经济方面的影响数据未收集。 (5) 在实际情况(出现非典)下进行
预测时,还可以考虑更好的数学方法,以得到 更为合理的结果!
七、参考文献 [1] 中国科学院遥感应用研究所, “早发现、早隔离、早治疗”对于控
制 SARS 疫情的定量分析,
http://www.sarsmap.cn/Analysis/SarsAnalysis.htm, 2003/9/24 [2] 卫生
部:“非典”疫情监测报告实施方案(全文),
http://www.southcn.com/news/china/zgkx/
200309031242.htm,2003/9/24,2003/9/24 [3]景学成,非典对北京经济的影响
因素,
http://www.xz.gov.cn/jjxx/index1.asp,2003/9/24 [4] 寿纪麟,《数学建模
—方法与范例》,西安:西安交通大学出版社,1993 年 [5] 赵静 但琪等,《数学建
模与数学实验》,北京:高等教育出版社, 2000 年 [6] 姜启源,《数学模型》,北
京:高等教育出版社, 1993 年 附件 附件一 给当地报刊的短文 数学枪模型弹 瞄准
病毒一二三 2002 年末,一种叫 SARS 的病毒看中了我们耐以生存的蓝色星球,决定
在这里繁衍生息。它们站在这颗星球的主人-人类的头上大声叫嚣:“我是病毒我怕
谁?” SARS 确实厉害,在人类可以为自己在科技、医学等各方面的巨大成就而骄傲的
时候,它给足了人类颜色。由于我们品种齐全的“杀虫剂”中没有“灭 SARS 牌”的药剂,
所以它们把整个世界搞得天昏地暗所做的工作,仅仅是轻轻推倒多米诺骨牌的第一张。
在这种危急时刻,人类的政治、科技领袖们带领大家扬着科学的旗帜,同舟共济,赢
得了非典狙击战的巨大胜利。而这其中,传染病数学模型的建立起到了至关重要的作
用。 首先,正确的传染病模型客观反应了病毒的传播规律,为预测和控制传染病提供
了必要前提;为我们的生产生活提供了科学的依据与正确的指导方向。例如:中科院
非典模型研究小组建立的非典预测模型,就为我国的非典控制和消除起到了十分有效
的指导作用!其实,我们也正是通过这些传染病模型,积极阻断非典的传播途径,加
大监控力度,以致最终取得这场战争的胜利。 其次,传染病模型并非仅仅可以描述病
毒的传播规律。一种传染病的流行,还会使国民经济,政治,文化受到冲击。例如
SARS 对旅游业的负面影响巨大,有了 SARS 传播的数学模型,就可以预测 SARS 对
旅游业的影响,估算损失。例如:通过 SARS 传播的数学模型,我们建立了非典对北
京市接待海外旅游者人数影响的数学模型,并利用建立的模型预测出十月上旬左右北
京市的海外旅游者的接客数量将会恢复到正常水平;在非典时期该旅游行业的总损失
在 474050000 美元到 948100000 美元之间!海外旅游接待人数将会减少 948100
人!通过现有资料的调查,可以说明我们的预测结果是合理可行的。
当然亦可以分析 SARS 对其它方面的影响。这样,各相关部门可以根据模型所提
供的病情预测,更好地制定在传染病流行期间,其防止措施和生产计划,使疾病造成
的损失降到最小!这足以说明建立传染病模型的重要性! 知己知彼是我们在这场与
SARS 的斗争中取胜的法宝。传染病数学模型的建立,不仅是我们在这场战役中使用
的强大武器也是一支指挥棒。一个正确的数学模型,能客观反应事物内在规律,有科
学的预见作用。而在进行了科学预测之后,我们才能对症下药,对传染病的传播加以
正确控制,并达到事半功倍的效果。 马克思指出:一种科学只有成功地应用数学时,
才算达到了真正完美的地步。有了传染病数学模型这个强有力的科学武器做指导,再
面目狰狞的传染病我们也有科学的决策去应对它! 数学枪模型弹,瞄准病毒,一
二三,开枪! 附件二 “SAS 的传播”原模型的半模拟循环计数法程序 N0=1;%北京的
初始非典病例 k=0.13913;%开始阶段的每个病人平均传染概率 t=1:59;%高峰前的
非典传播时间 N1(1)=N0*k; %该循环统计疫情高峰前的累积病例 for i=1:59 if
i<=20 N(i)=N0*(1+k)^i;% 控 制 前 累 计 病 例 if i>=2
N1(i)=N(i)-N(i-1);% 每 天 新 增 病 例 end end if i==20
N(i)=(N(i-1)-N0)*k+N(i-1); N1(i)=N(i)-N(i-1); end if i>20
N(i)=(N(i-1)-N(i-20))*k+N(i-1); N1(i)=N(i)-N(i-1); end end
k1=0.0273;%10 天过渡后的每个病人平均传染概率 %在 10 天的过渡期,分四次调
整 k 值
k2=k*5/12; i k=k-k2 for j=1:3 i=i+1; N(i)=(N(i-1)-N(i-20))*k+N(i-
1); N1(i)=N(i)-N(i-1); end k2=k/4; k=k-k2 for j=4:6 i=i+1;
N(i)=(N(i-1)-N(i-20))*k+N(i-1); N1(i)=N(i)-N(i-1); end k2=k/2.75; k=k-k2
for j=7:10 i=i+1; N(i)=(N(i-1)-N(i-20))*k+N(i-1); N1(i)=N(i)-N(i-1);
end i k=k1 %该循环求疫情消失后的累积病例 while N(i)-N(i-1)>1 i=i+1;
N(i)=(N(i-1)-N(i-20))*k1+N(i-1); end N 附件三 非典对北京海外旅游接客数的影
响的模型和预测程序 %A1—A7 为北京市接待海外旅游人数 1997—2003 年的数据
A1=[9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4
18.6]' A2=[9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5
20.1 15.9]' A3=[10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8
29.3 29.8 23.6 16.5]' A4=[11.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0
27.8 27.3 28.5 32.8 18.5]' A5=[11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0
25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7]' A6=[13.7 29.7 23.1 28.9 29.0
27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9]' A7=[15.4 17.1 23.5 11.6
1.78 2.61 8.8 16.2 0 0 0 0]; t=1:12 x=[A1,A2,A3,A4]; % 采
用 时 间 序 列 法 求 没 有 非 典 的 情 况 2003 年 的 实 际 预 测 值 for i=1:12
m(i)=mean([A4(i),A5(i),A6(i)]); end m1=(15.4-12.2)+m;% 没 有 非 典 的 情 况
2003 年 的 实 际 预 测 值 plot([1:12],m1) plot([1:84],[A1' A2' A3' A4' A5' A6'
m1],'*',[1:84],[A1' A2' A3' A4' A5' A6' m1]); x1=[15.4 17.1 23.5 11.6 1.78
2.61 8.8 16.2]; c=(m1([1:8])-x1)./m1([1:8])%这里,可以通过第 3 月的真实值
检验该模型的预测精确性 c(3)=[]; [p1,s1]=poly?t([4:7],c([4:7]),2);%用二次曲
线进行最小二乘拟合,预测在实际情况下的数据 Y1=polyconf(p1,[4:10],s1);%预
测 值 plot([4:10],Y1,'r');hold on; c=[c,[0.21462232228424 -
0.14273284947445 -0.56883671831862]]; plot([1:10],c,'*',
[1:4],c([1:4]));hold on; plot([1:10],zeros(1,10),'k')
一 、问题的提出
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