答案 1.1
1.(1)(, )
x
y
'
y
xtg
y
x
ytg
α
α
+
=
−
(2)
2
'2 2
'
()( )
y
x
yxy l
y
−+− = (3)
'
0xy y
+
=
(4)
'2
'
()()2
y
y
xy x a
y
−−= (5)
'2
y
xy x
−
=
提示：过点 (, )
x
y 的切线的横截距和纵截距分别为
'
y
x
y
−
和
'
y
xy
−
。
2.设 0 时刻的质点的在平衡处，坐标轴为一平衡位置为原点，竖直向下为轴的方
向，
设弹簧的弹性系数为 k,根据能量守恒定律
我们得到微分方程：:m(
dt
dx
)
2
+kx
2
=2mgx,x(0)=0,
3.如上建立坐标系，设任意时刻物体的位置为 x(t),由牛顿运动定律，
我们得到微分方程：md
2
x/dt
2
=mg-k
dt
dx
,其中 g 为重力加速度;
4.设任意时刻物体的温度为 T(t),由牛顿冷却定律，
我们得到微分方程：
dt
tdT )(
=-k(T(t)-A),T(0)=T
0
,其中 k 为比例系数，
解该方程得到：T(t)=A+(T
0
-A)
kt
e
−
;
5.以静止时刻物体的位置为轴的零点，沿斜面向下为轴的方向建立轴。设任意时
刻物体的速度为 v(t),根据牛顿运动定律，我们得到微分方程：
2
3g
dt
dv
=
,v(0)=0;
6．微分方程是
1)
)(
(
)(
2
)(
2
−
=
−
dx
xdy
dx
xdy
xop
xy
7. 1) y
dx
dy
x 2= ，2) y
dx
dy
= ，3)
dx
dy
dx
yd
=
2
4)
2
2
22
)(3
2
3
dy
dx
x
dy
xdx
c += ，代入略
5)
0])([
2
=−+
dx
dy
y
dx
dy
dx
dy
yx
，6)
θ
ρ
θθρ
d
d
)cos1(sin
−=
，7)
dt
dx
tgt
dt
dy
−=
8. 1），2 阶线性 ；2）2 阶非线性；3）2 阶非线性；4）m 阶线性；
5
），1 阶若 f(x,y)关于 y 是线性的，则线性；否则，非线性；6），3 阶同左；
7
），2 阶非线性；8） 1阶非线性；
9．带入验证（略）
