2011_西安工业大学级线性代数考试试题(A卷)

线性代数是一门在数学、物理、工程和计算机科学等多个领域都具有广泛应用的学科。这份2011年西安工业大学线性代数考试试题(A卷)涵盖了多个线性代数的核心概念，包括多项式、矩阵理论、线性方程组、特征值和特征向量、二次型以及秩等。 选择题的第一题考察了多项式的常数项，常数项是指不含变量的项，所以答案是(B) 2。 第二题涉及到矩阵的乘法，题目中给出两个矩阵A和B都是可逆的，这意味着AB也是可逆的，因此(A) (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}是正确的选项。 第三题讨论线性相关性和线性无关性。如果一组向量线性无关，而另一组包含在其中的向量线性相关，那么后者必定可以由前者线性表示，所以答案是(C) 必可由线性表示。 第四题考察线性方程组的解的性质。如果一个线性方程组的导出组仅有零解，那么原方程组有唯一解，因此正确答案是(D) 若(Ⅱ)仅有零解,则(Ⅰ)有唯一解。 第五题关于矩阵的特征值。题目中提到A的特征值为λ1, λ2, ..., λn，如果A是满秩矩阵，那么λi≠0，A的特征值对应的特征向量线性无关，(C)的表述是正确的。但(D)的表述存在问题，因为特征值线性无关并不意味着所有特征向量都线性无关，可能存在重根，这时特征向量可能线性相关。 填空题部分涉及到矩阵的行列式、特征值和特征向量、秩以及矩阵相似的问题，这些都是线性代数的基本概念。 三至六题则进一步深入到矩阵运算、向量组的秩、线性方程组的解的性质以及二次型的标准化和正定性。这些问题要求考生不仅掌握基本概念，还要能够运用这些知识解决具体问题，例如求解矩阵的逆、计算向量组的秩、找出极大无关组以及确定二次型的正定性。 这份试题全面测试了学生对线性代数基础理论和计算技能的理解和掌握。解答这些问题需要对矩阵运算、线性方程组的性质、特征值与特征向量、秩的概念、二次型的标准型及其正定性有深入的理解。通过这样的练习，学生能够强化对线性代数核心概念的把握，提升解决实际问题的能力。