2 第一章 行列式
(3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5) 逆序数为
n(n−1)
2
:
3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 个
5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个
7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n −1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n −1) 个
(6) 逆序数为 n(n − 1):
3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 个
5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个
7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n −1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n −1) 个
4 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 个
6 2, 6 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2n) 2, (2n) 4, (2n) 6, . . . , (2n) (2n − 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n −1) 个
3 . 写出四阶行列式中含有因子 a
11
a
23
的项.
解: 由定义知, 四阶行列式的一般项为
(−1)
t
a
1p
1
a
2p
2
a
3p
3
a
4p
4
,
其中 t 为 p
1
p
2
p
3
p
4
的逆序数．
由于 p
1
= 1, p
2
= 3 已固定, p
1
p
2
p
3
p
4
只能形如 13¤¤, 即 1324 或 1342. 对应的逆序数 t 分别为
0 + 0 + 1 + 0 = 1, 或 0 + 0 + 0 + 2 = 2.
所以, −a
11
a
23
a
32
a
44
和 a
11
a
23
a
34
a
42
为所求.
4 . 计算下列各行列式:
(1)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4 1 2 4
1 2 0 2
10 5 2 0
0 1 1 7
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
; (2)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 1 4 1
3 −1 2 1
1 2 3 2
5 0 6 2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
;
(3)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−ab ac ae
bd −cd de
bf cf −ef
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
; (4)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a 1 0 0
−1 b 1 0
0 −1 c 1
0 0 −1 d
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
解: (1)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4 1 2 4
1 2 0 2
10 5 2 0
0 1 1 7
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
r
1
↔r
2
====== −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2 0 2
4 1 2 4
10 5 2 0
0 1 1 7
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
r
2
−4r
1
=======
r
3
−10r
1
−
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2 0 2
0 −7 2 −4
0 −15 2 −20
0 1 1 7
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
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