根据提供的信息，我们可以详细解析清华大学组合数学教材第三章的相关知识点，特别是题目中提到的几个典型问题及其解答。这些题目涉及组合计数的基本原理和技术，包括组合数公式、容斥原理等核心概念。
### 3.4（a）知识点解析
#### 题目背景与分析
本题目考察的是如何计算在$n$个元素中选取$k$个元素时，这$k$个元素中必须包含$m$个特定元素的所有可能方案的数量。这个问题可以通过容斥原理来解决。
#### 解答思路
1. **定义集合**：首先定义集合$A_i$表示从$n$个元素中选择$k$个元素，其中必定不包含上述$m$个特定元素中的第$i$个元素的所有可能方案的集合。
2. **应用容斥原理**：利用容斥原理计算所有$A_i$的并集的补集的大小，也就是所求的方案数量。
#### 具体解答
根据题目给出的公式：
\[
\sum_{i=0}^{m}(-1)^i \binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}
\]
这个表达式的含义是从$n$个元素中选取$k$个元素，其中必定包含$m$个特定元素的所有可能方案的数量。具体来说，$\binom{m}{i}$表示从$m$个特定元素中选取$i$个的方法数，$\binom{n-m}{k-i}$表示从剩下的$n-m$个元素中选取$k-i$个的方法数，乘积$\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}$就是满足条件的一种组合方法的数量，然后通过求和以及乘以$(-1)^i$来进行容斥操作。
### 3.4（b）知识点解析
#### 题目背景与分析
本题目考察的是将$l$个球放入$n-m$个有区别的盒子，且每个盒子都不为空的所有可能方案的数量。
#### 解答思路
1. **使用容斥原理**：同样地，本题可以通过容斥原理来解决。首先定义集合$A_i$表示不使用第$i$个盒子的所有方案的集合。
2. **计算并集补集**：计算所有$A_i$的并集的补集的大小，即为所求的方案数量。
#### 具体解答
根据题目给出的公式：
\[
\sum_{j=0}^{n-m} (-1)^j \binom{n-m}{j} \left(\binom{l+j-1}{l}\right)
\]
这个表达式的含义是从$n-m$个盒子中选择$j$个不使用的盒子的方法数与剩余盒子放置$l$个球的方法数的乘积，最后通过求和进行容斥操作。
### 3.4（c）知识点解析
#### 题目背景与分析
本题目考察的是从$m+l$个球中选择$m+i$个球的所有可能方案的数量。
#### 解答思路
1. **定义集合与计算**：首先定义集合$S_i$表示从$m+l$个球中选择$m+i$个球的方案数，并定义$A_i$表示从$m+l$个球中选择$m+i$个球且包含某个特定球的方案数。
2. **应用容斥原理**：通过容斥原理计算所有$A_i$的并集的补集的大小。
#### 具体解答
根据题目给出的公式：
\[
\sum_{i=0}^{l} (-1)^i \binom{m+i}{m} = (-1)^l
\]
这里的关键在于理解$\binom{m+i}{m}$表示的是从$m+l$个球中选择$m+i$个球的方案数，而通过求和以及乘以$(-1)^i$来进行容斥操作，最终得到的结果即为所求。
### 3.5 知识点解析
#### 题目背景与分析
本题目考察的是利用鸽巢原理证明一组特定条件下的结论。
#### 解答思路
1. **鸽巢原理**：题目要求证明对于任意的三元组$(a,b,c)$，至少有两个元素取值相同，共有$C_3^2 = 3$组。
2. **构造论证**：通过构造例子来证明结论。
#### 具体解答
由于任意一个三元组$(a,b,c)$中至少有两个元素相同，共有$C_3^2 = 3$种情况，现在有7个三元组，根据鸽巢原理，至少有一个情况出现两次以上，即至少有两个三元组里存在取值相同的四个元素。
### 总结
以上题目主要考察了组合数学中的基本原理，如容斥原理、鸽巢原理等，通过对这些原理的理解和运用，能够有效地解决复杂的计数问题。希望这些解析对你有所帮助！
