分数阶Fourier 变换是对经典Fourier 变换的推广。 最早由Namias以数学形式提出, 并很快在光学领域得到了广泛应用。而其在信号处理领域的潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘。尽管分数阶Fourier 变换的定义式直观上看仅是chirp 基分解, 而实质上分数阶Fourier 变换更具有时频旋转的特性, 它是一种统一的时频变换, 随着变换阶数从0连续增长到1而展示出信号从时域逐步变化到频域的所有特征，可以为信号的时频分析提供更大的选择余地。
分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform, FRFT）是一种扩展了传统傅里叶变换的概念，它在时频分析领域具有重要的应用价值。最早由Namias提出，起初主要应用于光学领域，后来逐渐被发现其在信号处理中的潜力，尤其是在20世纪90年代中期开始受到广泛关注。
1. **连续分数阶傅里叶变换定义**
连续分数阶傅里叶变换是将信号从时间域转换到频率域的一种方法，它的变换阶数α可以从0连续增长到1。对于一个信号x(t)，其α阶的分数阶傅里叶变换X(u)定义为：
\[ X(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \alpha \omega t} dt \]
其中，变换核K(t, u)与α有关，体现出时频旋转特性。
2. **分数阶傅里叶变换的性质**
- FRFT是线性算子，满足线性、共轭对称性、零度旋转和π/2旋转等基本性质。
- 当α=0时，FRFT退化为原信号；当α=π/2时，FRFT对应于普通的傅里叶变换。
- FRFT具有加法性和周期性，适合处理各种复杂信号。
3. **分数阶傅里叶变换的优势**
- 它提供了一种统一的时频变换，通过调整α，可以观察到信号从时域到频域的连续变化，为时频分析提供了更大的灵活性。
- 适合处理具有时变频率特性的chirp信号，例如线性调频信号。
- 可以进行时频旋转，用于估计信号的瞬时频率和恢复相位信息，同时也可用于设计新型时频分析工具。
- 比传统的傅里叶变换多了一个自由参数α，可以根据应用场景选择合适的参数，提高处理效果。
- 在存在加性噪声的多分量信号中，由于其线性特性，能够更好地抑制噪声干扰。
4. **算法仿真**
分数阶傅里叶变换的算法通常涉及数值计算，通过仿真可以观察不同阶数α下信号的变换图像，例如矩形脉冲信号的FRFT结果。这种仿真有助于理解和优化变换参数，以获得最佳的时频表示。
5. **线性调频信号的分数阶傅立叶变换**
对于线性调频信号，通过选择合适的分数阶α，可以在FRFT中实现信号能量的高度集中，从而有利于信号与噪声的分离。这可以通过逐步扫描α找到最佳分数阶数，然后进行逆FRFT以重构信号。
6. **瞬时频率估计**
利用FRFT进行瞬时频率估计，可以有效提取信号的动态频率特性，尤其在信号被噪声污染的情况下。通过计算接收序列的FRFT，保留能量集中的点并去除噪声，再通过逆FRFT可恢复信号的原始形态。
分数阶傅里叶变换作为一种强大的时频分析工具，不仅拓宽了经典傅里叶变换的应用范围，还在信号处理、通信和图像处理等领域展现出独特的优越性。
