复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题4.doc

复变函数与积分变换是数学中的一个重要分支，主要研究复数域上的函数和积分理论。在处理这些问题时，经常会遇到复级数、级数的敛散性、幂级数等概念。以下是对题目中涉及的知识点的详细解释： 1. **复级数的敛散性**：复数项级数的敛散性可以通过比较判别法、比值判别法、根值判别法等来判断。例如，在题目中，通过分析各项的极限，我们可以确定某些级数的绝对收敛、条件收敛或发散。 2. **级数的性质**：如果两个级数发散，它们的乘积并不一定发散。比如，题目中的例子展示了即使两个级数发散，它们的乘积可以是收敛的。这说明了级数收敛性判断的复杂性。 3. **柯西准则**：对于部分和序列，如果其子序列的极限存在并且等于同一常数，则该级数是收敛的。在第4题中，利用了部分和序列的极限来讨论级数的敛散性。 4. **幂级数**：幂级数的形式为 Σ_n=0^n∞ C_n(z-a)^n，其中 C_n 是系数，z 是变量，a 是中心点。幂级数的收敛半径 R 是指 |z-a|<R 时幂级数收敛的范围。题目中提到，幂级数在收敛圆周上可能收敛也可能发散，这取决于系数序列的特定性质。 5. **收敛半径的乘法性质**：如果已知幂级数 0nnnC z¥=å 的收敛半径为 R，那么乘以常数 b 后的新级数 0nnnnC zb¥=å 的收敛半径 R_b 可以通过 R_b = |b|R 来计算。 6. **解析函数与奇点**：幂级数的和函数在收敛圆内通常是解析的，意味着它没有极点或间断点。然而，这并不意味着在收敛圆内不可能出现奇点，例如，可能在边界上有留数。 7. **系数的极限**：如果幂级数的系数序列 lim nnnar® ¥=，我们可以根据级数的性质推断出收敛半径 R。当 r << 0 时，R = r；当 r = 0 时，R = +∞；当 r = +∞ 时，R = 0。这涉及到幂级数的根值判别法。 这些知识点都是复变函数与积分变换课程中的核心内容，涉及到复级数的敛散性分析、幂级数的性质以及级数理论中的基本概念。理解和掌握这些知识点对于学习复变函数及其应用至关重要。