高二导数与函数极值与最值.doc

【导数与函数极值与最值】 导数是微积分中的核心概念之一，它用于描述函数在某一点的瞬时变化率。在高中数学，尤其是高二阶段，导数被广泛应用于研究函数的性质，特别是函数的单调性、极值和最值。 1. **函数的单调性**：函数的单调性是指函数值随着自变量的变化是增加还是减少。如果函数的导数在某个区间内始终大于0，那么函数在这个区间内是单调递增的；反之，如果导数始终小于0，则函数单调递减。对于题目中的例子，例如"讨论函数的单调性"，我们需找出导数为正或负的区间，这可以通过解不等式来实现。 2. **函数的极值**：函数在某点的极值是相对于附近其他点的函数值达到最大或最小的情况。极大值是指函数值比其附近所有点的值都要大，极小值则是相反。判断函数在某点是否取得极值，通常需要检查该点的导数值以及导数在该点两侧的符号变化。如果在某点导数为0，且该点两侧导数的符号相反，那么该点可能是极值点。根据"左正右负"和"左负右正"的原则，我们可以确定是极大值还是极小值。 3. **函数的最大值和最小值**：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值，这是著名的最值定理。但是，如果函数在开区间上连续，那么可能不存在最大值或最小值。最值是在整个定义域内比较得出的，而极值是在局部区域比较得出的。一个函数在其定义区间上可能只有一个最大值和一个最小值，也可能没有或者有多于一个的极值。 4. **例题解析**： - 例1展示了如何根据函数图象识别极值点。 - 例2中，要求求解函数的单调区间和极值，这需要计算导数并分析其符号。 - 例3探讨了如何利用导数找到极值点，并进一步研究函数的单调性。 - 例4展示了如何根据函数在特定区间上的极值信息反推参数的值，以及求解函数在该区间上的最值。 5. **变式问题**：变式问题提供了不同的情况，比如要求函数的最值、寻找使恒成立的参数范围，或者根据切线信息求解函数的极值等，这些都是实际解题中常见的变型。 通过这些知识点的讲解和例题解析，学生可以理解导数在分析函数性质中的作用，掌握如何运用导数来寻找函数的极值和最值，这对于解决相关的数学问题至关重要。同时，这些内容也为后续更深入的微积分学习打下了坚实的基础。