butterworth滤波器设计参考

### Butterworth滤波器设计详解 #### 一、引言 在嵌入式音频产品的开发过程中，低通滤波器(LPF)和高通滤波器(HPF)的应用非常广泛。通常，这些滤波器的参数(FilterCoefficients)会在设计阶段通过专业工具(如Matlab)预先计算好，然后在实际产品中应用。但在某些情况下，可能需要用户能够根据实际需求实时调整滤波器的频率响应(FilterFrequencyResponse)，这就要求在嵌入式系统中能够根据用户的设定实时生成相应的滤波器系数(FilterCoefficients)。 本文将详细介绍Butterworth滤波器的设计方法，包括设计原理、离散化过程以及C语言实现等方面的内容。其中涉及的理论基础和技术细节将基于陈佩青教授所著的《数字信号处理教程》。 #### 二、Butterworth滤波器概述 Butterworth滤波器是一种经典的滤波器类型，以其平坦的通带响应和平滑的过渡带而著称。归一化的Butterworth滤波器系统函数的一般形式如下： \[ H(s) = \frac{a_0}{\sum_{n=0}^{N} a_n s^n} \] 为了保持通带增益为0dB，通常设定 \( d_0 = a_0 \)。当 \( a_0 = a_N = 1 \) 时，可以得到归一化的Butterworth多项式的具体形式。以下列出了一些常见阶数对应的多项式系数： | 阶数 N | 多项式因子 | |--------|------------| | 1 | \( s + 1 \) | | 2 | \( s^2 + 1.4142s + 1 \) | | 3 | \( s^3 + 2s^2 + 2s + 1 \) | | 4 | \( s^4 + 2.6131s^3 + 3.4142s^2 + 2.6131s + 1 \) | 以上多项式系数来源于陈佩青《数字信号处理教程》第二版第266页（6-108）表达式及维基百科“巴特沃斯滤波器”。 #### 三、从S域到Z域的转换 在实际应用中，我们需要将连续时间系统的传递函数从S域转换到Z域，以便于在数字系统中实现。转换的具体方法如下： - **低通滤波器**: \[ z = e^{sT_s} = \frac{1 + (2 \pi f_c / f_s) / 2 tan(\pi f_c / f_s)}{1 - (2 \pi f_c / f_s) / 2 tan(\pi f_c / f_s)} \] - **高通滤波器**: \[ z = e^{sT_s} = \frac{1 + (2 \pi f_c / f_s) tan(\pi f_c / f_s)}{1 - (2 \pi f_c / f_s) tan(\pi f_c / f_s)} \] 其中，\( f_s \) 是采样频率，\( f_c \) 是截止频率。 #### 四、实例分析 接下来，我们将通过两个具体的例子来展示如何设计Butterworth滤波器。 ##### 1. 1阶Butterworth LPF设计 假设采样频率 \( f_s = 44100 \) Hz，截止频率 \( f_c = 1000 \) Hz。首先计算 \( C_1 \): \[ C_1 = tan(\pi f_c / f_s / 2) = 0.071358680866949307399178122527764 \] 代入公式得到1阶Butterworth LPF滤波器系数： - \( B = [0.066605780250, 0.066605780250, 0] \) - \( A = [1, -0.866788439500, 0] \) 这个结果与使用Matlab计算的结果一致。 ##### 2. 2阶Butterworth LPF设计 对于2阶Butterworth LPF的设计，我们同样需要先确定相关的系数。已知2阶Butterworth多项式为 \( s^2 + 1.4142s + 1 \)。假设 \( f_s = 44100 \) Hz，\( f_c = 1000 \) Hz，则： - 计算 \( C_1 \): 同上 - 基于2阶多项式进行变换得到滤波器系数。 通过上述步骤，我们可以设计出不同阶数的Butterworth滤波器，并将其应用于嵌入式系统中。需要注意的是，在实际编程过程中，由于嵌入式系统资源有限，可能会采用定点运算来提高效率。 #### 五、C语言实现 设计好的Butterworth滤波器可以通过C语言实现。考虑到嵌入式系统的资源限制，可以考虑使用定点运算代替浮点运算。此外，由于tan函数可能不在所有嵌入式系统的数学库中提供，可以通过查找表或者近似算法实现。 #### 六、总结 本文详细介绍了Butterworth滤波器的设计方法及其在嵌入式系统中的应用。通过对Butterworth滤波器的设计原理、离散化过程及C语言实现的讲解，希望能帮助读者更好地理解和掌握Butterworth滤波器的设计与实现过程。未来，随着技术的进步，更多高效的算法和优化方案将被引入到嵌入式音频产品的开发中。