动态规划是一种强大的算法思想，广泛应用于计算机科学和数学领域，特别是在解决最优化问题时。它通过将复杂问题分解成子问题来求解，通常适用于有重叠子问题和最优子结构的问题。本讲义主要围绕动态规划的基本概念、基本问题和经典模型进行深入探讨。
一、动态规划的基本思想
动态规划的核心在于“规划”，即通过逐步构建一个解决方案，从最简单的子问题开始，逐步扩展到整个问题。与分治法不同，动态规划不仅要求解决子问题，还要求记录和利用这些子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。
二、基本问题
1. 背包问题：包括0-1背包、完全背包和多重背包问题，是动态规划的经典应用。这些问题涉及到如何在容量有限的背包中选取物品，使得总价值最大。
2. 最长公共子序列：寻找两个序列的最长公共子序列，不考虑子序列的顺序，动态规划可以有效地找到这一序列。
3. 最短路径问题：如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，用于寻找图中的最短路径，动态规划在解决这类问题时能有效处理负权边。
4. 编辑距离：计算两个字符串之间的最小编辑距离，即通过插入、删除、替换操作使一个字符串变成另一个字符串所需的最少步骤。
5. 背包问题的变种：如区间背包、二维背包等，都是动态规划在实际问题中的应用。
三、经典模型
1. 矩阵链乘法：通过动态规划求解最小括号展开，以减少计算多个矩阵相乘时的运算次数。
2. 背包问题的优化：如带有权重约束的背包问题、多维背包问题等，动态规划可以提供有效的解决方案。
3. 贪心与动态规划的对比：某些问题中，贪心策略无法得到全局最优解，而动态规划则可以找到全局最优。
4. 最长递增子序列：找出一个序列中最长的严格递增子序列，动态规划在此类问题中展现出优势。
5. 约瑟夫环问题：动态规划可用于解决约瑟夫环问题，确定在特定规则下最后一个被剔除的人。
四、动态规划的应用
动态规划不仅在理论研究中有重要地位，还在诸多实际问题中有着广泛的应用，例如资源分配、任务调度、生物信息学、网络流优化等。通过理解和掌握动态规划，开发者可以更高效地解决实际工程中的优化问题。
动态规划是一门深度且实用的算法，其理论基础和实际应用都值得深入学习和研究。本讲义中的PPT文件，如“动态规划 1.ppt”至“动态规划 8.ppt”，将详细讲解这些概念、问题和模型，为学习者提供一个系统性的动态规划学习框架。通过深入学习这些内容，可以提升解决问题的能力，尤其是面对复杂优化问题时。
