根据题目信息，我们可以总结出以下IT知识点：
### 题目背景
这是一道腾讯公司笔试中的附加题，原题来源于ACM（国际大学生程序设计竞赛）的一个问题。题目要求求解一个矩阵中最长递减路径的长度。该题目不仅考察了候选人的编程能力，还考察了解决复杂算法问题的能力。
### 问题描述
题目给出一个 R 行 C 列的矩阵，矩阵中的每个元素代表该位置的高度值。要求找到一条从某个格子出发，每次只能移动到相邻的上下左右四个格子中的一个，并且只能向高度值更小的位置移动，最终使得路径尽可能长。输出最长路径的长度。
### 解题思路
#### 方法一：深度优先搜索 + 记忆化
1. **状态定义**：`dp[r][c]` 表示从 `(r, c)` 这个位置出发能到达的最长路径长度。
2. **状态转移**：如果当前位置 `(r, c)` 的高度大于相邻位置 `(rr, cc)` 的高度，则可以进行状态转移：`dp[r][c] = max(dp[r][c], dp[rr][cc] + 1)`。
3. **记忆化**：为了避免重复计算相同的状态，采用记忆化技术存储已经计算过的结果。
#### 方法二：动态规划 + 回溯
1. **状态定义**：与方法一相同，`dp[r][c]` 表示从 `(r, c)` 这个位置出发能到达的最长路径长度。
2. **状态转移**：同样地，如果当前位置 `(r, c)` 的高度大于相邻位置 `(rr, cc)` 的高度，则可以进行状态转移。
3. **回溯**：当探索完当前位置的所有可能方向后，更新当前位置的最长路径长度，并返回上一层继续探索其他路径。
### 代码实现
#### 方法一
```cpp
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 100
int map[MAX][MAX];
int dp[MAX][MAX];
int R, C;
const int dr[] = {0, 0, -1, 1};
const int dc[] = {1, -1, 0, 0};
// 深度优先搜索函数
int dfs(int r, int c) {
if (dp[r][c] > 0) {
return dp[r][c];
}
dp[r][c] = 1;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
int rr = r + dr[i];
int cc = c + dc[i];
if (rr >= 0 && rr < R && cc >= 0 && cc < C && map[r][c] > map[rr][cc]) {
dp[r][c] = max(dp[r][c], dfs(rr, cc) + 1);
}
}
return dp[r][c];
}
int main() {
cin >> R >> C;
for (int i = 0; i < R; i++) {
for (int k = 0; k < C; k++) {
cin >> map[i][k];
dp[i][k] = -1;
}
}
int ans = -1;
for (int i = 0; i < R; i++) {
for (int k = 0; k < C; k++) {
int tmp = dfs(i, k);
if (tmp > ans) {
ans = tmp;
}
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
```
#### 方法二
```cpp
#include<iostream>
using namespace std;
int M, N;
int** data;
int** A;
// 回溯搜索函数
int ScanOnce(int i, int j) {
int p = -1, q = -1, r = -1, s = -1;
if (A[i][j] != -1) return A[i][j];
if ((i - 1) > -1 && data[i - 1][j] < data[i][j]) p = ScanOnce(i - 1, j);
if ((i + 1) < M && data[i + 1][j] < data[i][j]) q = ScanOnce(i + 1, j);
if ((j - 1) > -1 && data[i][j - 1] < data[i][j]) r = ScanOnce(i, j - 1);
if ((j + 1) < N && data[i][j + 1] < data[i][j]) s = ScanOnce(i, j + 1);
int max = p;
if (q > max) max = q;
if (r > max) max = r;
if (s > max) max = s;
A[i][j] = max + 1;
return max + 1;
}
int main() {
cin >> M >> N;
data = new int*[M];
A = new int*[M];
for (int i = 0; i < M; i++) {
data[i] = new int[N];
A[i] = new int[N];
}
for (int i = 0; i < M; i++)
for (int j = 0; j < N; j++) {
cin >> data[i][j];
A[i][j] = -1;
}
int max = -1;
for (int i = 0; i < M; i++)
for (int j = 0; j < N; j++) {
if (A[i][j] == -1)
ScanOnce(i, j);
if (A[i][j] > max)
max = A[i][j];
}
cout << max + 1 << endl;
return 0;
}
```
### 总结
此题通过两种不同的方法解决了同一个问题，展示了在解决类似问题时的不同思考角度。深度优先搜索加记忆化的解决方案利用了递归的思想，而动态规划加回溯的方法则更多地考虑了状态转移和回溯的过程。这两种方法都有效地解决了问题，并给出了正确的结果。对于想要提高自己算法水平的同学来说，这道题目具有很高的参考价值。
