高三数学上学期第二次周考试题理.pdf
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【知识点详解】 1. **函数单调性**:题目中的第一道选择题涉及到函数的单调性。函数$f(x)=2x^2-x^3$的单调递减区间可通过求导找到,因为导数值小于零的区间对应原函数的递减区间。求导得$f'(x)=4x-3x^2$,令$f'(x)<0$,解得$x\in[0, \frac{4}{3}]$,所以选项D正确。 2. **不等式求解**:第二道选择题中$f(x)=x^2-2x-4\ln x$,要求$f'(x)>0$的解集。求导得$f'(x)=2x-2-\frac{4}{x}$,解不等式$2x-2-\frac{4}{x}>0$,得到$x\in(2,+\infty)$,故选C。 3. **导数与函数性质**:第三题中,条件$(x-1)f'(x)\geq0$意味着在$x=1$处函数可能取得极大值或极小值。根据选项,可以推断$f(0)+f(2)\geq2f(1)$,这反映了函数在$x=1$附近的平均变化率。 4. **成本与利润最大化**:第四题是关于成本函数$C(x)=1200+275x^3$和产品单价与数量的反比例关系。总利润$P(x)$是销售额减去成本,即$P(x)=xQ(x)-C(x)$,其中$Q(x)$是单位价格。根据题目,$Q(x)=\frac{k}{x^2}$,代入$Q(100)=50$求得$k$,然后利用微分法找到$x$的值使得$P'(x)=0$以确定最大利润点。答案是B,当产量为25时,总利润最大。 5. **最大年利润**:第五题中,年利润$y=-\frac{1}{3}x^3+81x-234$,通过求导找到极大值点来确定最大年利润的年产量$x$。求导得$y'=-x^2+81$,令$y'=0$,解得$x=9$,因此答案是C,9万件。 6. **不等式解集**:第六题中,利用$f(x)>2x+4$,结合$f'(-1)>2$的信息,我们可以构建不等式并求解。由$f(-1)=2$且$f'(x)>2$,得到$f(x)>2x+4$的解集为$(-1, +\infty)$,所以答案是B。 7. **函数图像距离最短**:第七题涉及直线$x=t$与函数$f(x)=x^2$和$g(x)=\ln x$的图像交点的距离$MN$。当$t$取$x^2$和$\ln x$图像的拐点之间时,$MN$达到最小,这个拐点为$x=1$,所以答案是A。 8. **函数单调性与区间**:第八题中,$f(x)=2x^2-\ln x$在区间$(k-1, k+1)$内不是单调函数,意味着存在极值点。由$f'(x)=4x-\frac{1}{x}=0$,解得$x=\pm\frac{1}{2}$,由于$k-1<k+1$,$k$的取值范围是$[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$,所以答案是$1$和$3$。 9. **函数解析式与单调性**:第九题要求通过导数找到$f(x)=\frac{1}{3}x^3+mx^2+nx$的解析式以及$m,n$的值。通过导数$f'(x)=x^2+2mx+n$在$x=-2$处取极值得$m=3$,再由最小值得$n=2$。第二部分中,要使得递减区间的长度为正整数,即$f'(x)=x^2+2mx+n=0$的两根差为正整数,计算得$m=2$, $n=3$或者$m=3$, $n=5$。 10. **商品销售与利润**:第十题中,商品的销售量$y=ax-3+10(x-6)^2$,在$x=5$时,$y=11$,解得$a=2$。第二部分要求利润最大,即销售额减去成本的最大值,即$xQ(x)-C(x)$的最大值,其中$Q(x)=ax-3+10(x-6)^2$,$C(x)=3x$。通过求导找到$x$的值,使得利润函数的导数等于零,得到最大利润点。 以上内容涵盖了函数单调性、导数的应用、不等式的解法、成本与利润分析等多个数学知识点,主要涉及高中数学的微积分、函数性质和实际应用问题。
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