弹塑性力学作业（含答案）

### 弹塑性力学知识点解析 #### 二、应力理论和应变理论 ##### 2—3. 斜截面上的应力计算 - **题目概述**：本题要求计算一个特定单元体斜截面上的正应力\( \sigma_{30^\circ} \)和剪应力\( \tau_{30^\circ} \)，并讨论使用材料力学中的斜截面应力公式在应用到弹塑性力学中的修正方法。 - **给定条件**：已知单元体在xoy坐标系中的应力状态为\( \sigma_x = -10 \) MPa，\( \sigma_y = -4 \) MPa，\( \tau_{xy} = -2 \) MPa。 - **解决方案**： - 使用材料力学的斜截面应力计算公式得到的结果与弹性力学的计算结果在符号上有差异，但实质上反映的是相同的物理现象。 - 材料力学中，斜截面上的正应力和剪应力可通过以下公式计算：\[ \sigma_{\theta} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\cos(2\theta) + \tau_{xy}\sin(2\theta) \] \[ \tau_{\theta} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\sin(2\theta) + \tau_{xy}\cos(2\theta) \] - 对于给定的角度\( \theta = 30^\circ \)，可以计算出斜截面上的正应力和剪应力。值得注意的是，在弹性力学中，剪应力的符号定义有所不同，需要根据实际情况进行调整。 ##### 2—6. 悬挂等直杆的应变分析 - **题目概述**：本题要求分析一根在自重作用下的悬挂等直杆，并计算其在任意位置的应变和总伸长量。 - **给定条件**：等直杆长度为L，材料比重为\( \gamma \)，弹性模量为E，横截面积为A。 - **解决方案**： - 在距离杆的自由端z处，计算杆的应变\( \varepsilon_z \)。杆在自重作用下的受力分析表明，该处的内力\( N_z = \gamma A z \)，从而得到该处的应力\( \sigma_z = \frac{N_z}{A} = \gamma z \)。 - 应变\( \varepsilon_z \)可通过应力\( \sigma_z \)和弹性模量E计算得出：\[ \varepsilon_z = \frac{\sigma_z}{E} = \frac{\gamma z}{E} \] - 杆的总伸长量\( \Delta l \)可通过积分的方法计算：\[ \Delta l = \int_0^L \varepsilon_z dz = \int_0^L \frac{\gamma z}{E} dz = \frac{\gamma L^2}{2E} \] ##### 2—9. 微分斜截面上的应力计算 - **题目概述**：本题要求计算一个特定斜截面上的总应力\( P_n \)、正应力\( \sigma_n \)和剪应力\( \tau_n \)。 - **给定条件**：已知应力张量\( \sigma_{ij} \)和斜截面的外法线\( n_i \)。 - **解决方案**： - 通过计算斜截面上应力张量在各个坐标轴方向上的投影，可以得出总应力\( P_n \)、正应力\( \sigma_n \)和剪应力\( \tau_n \)。 - 给定条件下，所有应力分量均为零，因此斜截面上的总应力\( P_n \)、正应力\( \sigma_n \)和剪应力\( \tau_n \)也均为零。 #### 总结 以上解析了几个关于弹塑性力学的关键问题，包括斜截面上的应力计算、悬挂等直杆在自重作用下的应变分析以及微分斜截面上的应力计算。这些知识点涵盖了弹塑性力学的基本原理和技术，对于深入理解材料在各种载荷条件下的行为具有重要意义。通过这些例题的学习，可以帮助学生更好地掌握弹塑性力学的核心概念和技术，提高解决实际工程问题的能力。