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样本估计总体汇编.pdf
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样本估计总体汇编.pdf
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§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
(第一课时 频率分布表)
【课标定向】
学习目标
频率分布及频率分布表.
提示与建议
1.了解频率分布的意义
2.了解什么是频率分布表,掌握编制频率分布
表的方法.
【互动探究】
自主探究
用样本频率分布(表)估计总体频率分布,其制
作步骤是:
第一步,按确定的组距对一批数据分组后,数
出落在各组内数据的
____
(即频数),填入表中;
第二步,各小组的频数与数据总数的
____
叫
做这一小组的频率,算出各小组的频率,填入表中;
第三步,小于某一数值的频率为
____
,算出
后填入累积频率表中.
剖例探法
★讲解点一 制作频率分布表
当总体很大或不便获得总体的频率时,可以用
样本的频率分布估计总体的频率分布,我们把反映
总体频率分布的表格称为频率分布表.
下面我们通过一个具体的实例来阐述这一处
理样本数据的方法.
为了估计全市居民用水量的分布情况,假设通
过抽样,我们获得了100位居民某年的月均用水量.
100位居民的月均用水量(单位:t)
1.编制频率分布表的方法步骤:
⑴求极差(也称全距,即一组数据中最大值与
最小值的差)
计算极差时,需要找出这组数据的最大值和最
小值,当数据很多时,可借助如下算法(最大值):
第一步,把这100个数据命名为
(1), (2), , (100)A A A
;
第二步,设变量
(1)x A
;
第三步,把
( )( 1,2, ,100)A i i
逐个与
x
比
较,如果
( )A i x
则
( )x A i
.
运用上面的算法得出这组样本数据的最大值
是4.3,用类似的方法可以得出最小值0.2,它们的
差为4.3-0.2=4.1,说明样本数据的变化范围是4.1t.
⑵决定组距与组数
样本数据有100个,由上面算得极差为4.1,取
组距为0.5,那么组数=极差/组距=4.1/0.5=8.2,
于是应将样本数据分成9组.
注意:为方便起见,组距的选择应力求“取整”,
如果极差不利于分组(如不能被组数整除),可适
当增大极差,如在左、右两端各增加适当范围(尽
量使两端增加的量相同).
⑶决定分点,将数据分组
以组距为0.5,将数据分组时,可以分成以下9
组:
[0,0.5),[0.5,1), [4,4.5]
.
分组时,通常对组内数值所在区间取左闭右开
区间,最后一组取闭区间,当然也可以采用其他分
组方法.
⑷登记频数,计算频率,列出频率分布表如表:
频率=频数/样本容量,如第一小组的频率为
4/100=0.04.
100位居民的月均用水量的频率分布表
2.小结
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6
3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1
3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3
3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8
3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0
2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3
2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4
2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4
2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
⑴组距和组数的确定没有固定的标准,将数据
分组时,组数应力求合适,以使数据的分布规律能
清楚地呈现出来,组数太多或太少,都会影响我们
了解数据的分布情况,数据分组的组数与样本容量
有关一般样本容量越大,所分组数越多,当样本容
量不超过100 时,按照数据的多少,常分成5至12
组.
⑵频率分布表排除了抽样造成的误差,精确地
反映了总体取值的概率分布规律!总体分布.
例题1为了估计某人的射击技术状况,在他的
训练记录中抽取了50次进行检验,他命中环数如
下:
7 8 6 8 6 5 9 10 7 9
5 6 5 6 7 8 7 9 10 9
8 5 7 8 7 6 8 6 7 7
9 6 5 8 6 9 6 8 10 7
8 7 8 6 9 8 7 10 8 9
作出频率分布表.
【解析】频率分布表如下:
【规律技巧总结】作频率分布表时要注意给出
的数据,怎样分组,以及频数与频率之间的关系.
精彩反思
1.一般地,编制频率分布表的步骤如下:
⑴求全距,决定组数和组距,组距=全距/组数.
如果取全距时不利于分组(如不能被组数整
除),可适当增大全距,如在左、右两端各增加适
当范围,(尽量使两端增加的量相同),同时还要
注意,分的组数过少或过多都不好,过少或过多,
都不能反映数据的分布规律.
⑵分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开
区间,最后一组取闭区间.
⑶登记频数,计算频率,列出频率分布表.
2.当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率
分布估计总体的频率分布,反映总体频率分布的表
格叫频率分布表.
3.频率分布表各组中的频数之和为样本容量,各组
中的频率之和等于1.
【自我测评】
1.一个容量为20的样本,已知某组的频率为0.25,
则该组的频数为( )
A.5 B.15 C.2 D.80
2.从某一总体中抽出一个体数为200的样本后,得到
组距与频数如下:
[10,15),6; [15,20),8; [20,25),13; [25,30),35;
[30,35),46; [35,40),34;[40,45),28; [45,50),15;
[50,55),10; [55,60],5
,则样本在
[35,80)
上的频
率是( )
A.0.69 B.0.46 C.1 D.不存在
3.一个容量为20的数据样本,分组与频数为
[10,20),2; [20,30),3; [30,40),4; [40,50),5;
[50,60),4; [60,70],2
,'则样本数据在区间
( ,50]
上的可能性为( )
A.5% B.25% C.50% D.70%
【拓展迁移】
思维提升
4.下面是不同厂家生产的手提式电脑的重量(单位:
㎏),试列出其频率分布表:
1.9 2.0 2.1 2.4 2.4 2.8 3.2 2.3 1.5 2.6
2.6 1.9 2.4 2.2 1.6 1.7 1.7 1.8 1.8
3.0.
视野拓展
“国际数学界”的最高奖项
数学领域中有一种世界性的奖励,这就是每四
年颁发一次的菲尔兹奖.在各国数学家的眼里,菲
尔兹奖所带来的荣誉可与诺贝尔奖相媲美.菲尔兹
奖是由国际数学联盟(简称IMU) 主持评定的,
并且只在每四年召开一次的国际数学家大会(简称
ICM)上颁发,菲尔兹奖的权威性,部分地来自于
此.第一次国际数学家大会在苏黎世召开,紧接着,
1900年又在巴黎召开了第二次会议,自1900年以
后,大会一般每四年召开一次.菲尔兹奖是以已故
的加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹命名的.
环数 频数 频率
5 5 0.10
6 10 0.20
7 11 0.22
8 12 0.24
9 8 0.16
10 4 0.08
§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
(第二课时 频率分布直方图)
【课标定向】
学习目标
频率分布直方图;频率分布折线图;总体密度
曲线.
提示与建议
1.了解频率分布直方图的意义;
2.了解折线图和密度曲线的意义;
3.掌握作频率分布直方图的方法.
【互动探究】
自主探究
1.在频率分布直方图中,纵轴表示
_______
,数据
落在各小组内的频率用
______
表示,各小长方形
的面积总和
___
.
2.下列关于频率分布直方图的说法正确的是( )
A.直方图的高表示取某数的频率
B.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现
的频率
C.直方图的高表示取某组上的个体在样本中出
现的频数与组距的比值
D.直方图的高表示取该组上的个体在样本中出
现的频率与组距的比值
3.在频率分布直方图中,各个长方形的面积表示
( )
A.落在相应各组的数据的频数
B.相应各组的频率
C.该样本所分成的组数
D.该样本的样本容量
4.连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点,
就得到频率分布折线图,随着
______
的增加,作
图时所分的
______
的增加,相应的频率分布折线
图就会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称之为
总体密度曲线,它能够更加精细的反映出
______
.
剖例探法
★讲解点一 制作频率分布图
1.频率分布直方图的绘制方法与步骤:(下面用上
节居民用水量中的数据加以说明)
⑴先制作频率分布表,然后作直角坐标系,以横轴
表示月均用水量,纵轴表示频率/组距;
⑵把横轴分成若干段,每一线段对应一个组的组
距,即在横轴上标上0.5,1,1.5 ,…,4.5表示的
点;
⑶在上面标出的各点中,分别以相邻两点为端点的
线段为底作矩形,它的高等于该组的频率/组距,每
个矩形的面积恰好是该组上的频率这些矩形就构
成了频率分布直方图.
2.有关问题的理解
⑴因为小矩形的面积=组距×频率/组距=频率,所以
各小矩形的面积表示相应各组的频率,这样,频率
分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个
小组的频率的大小.
⑵在频率分布直方图中,各小矩形的面积的总和等
于1.
⑶同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴单位
不同,得到的图的形状也会不同,不同的形状给人
的印象也不同,这种印象有时会影响我们对总体的
判断,下面分别以0.1和1为组矩重新作图,观察图
的特点.
可见,分组越细越接近样本的原始数据,更能
真实反映样本数据的原始状态,但如果样本容量不
增加,只一味减小组距,有时反而影响频率分布观
察.
★讲解点一 制作频率折线图
1.频率分布折线图
如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上
底边的中点顺次连接起来,就得到一条折线,我们
称这条折线为本组数据的频率分布折线图,简称频
率分布折线图.
如上例中,可得如下频率折线图.
注意:取值区间两端点须分别向外延伸半个组
距,并取此组距上在
x
轴上的点与折线的首尾分别
相连.
2. 总体密度曲线
一般地,当总体中的个体数较多时,抽样时样
本容量就不能太小.例如,如果要抽样调查一个省
乃至全国的居民的月均用水量,那么样本容量就应
比调查一个城市的时候要大.
如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得
足够小,那么相应的频率折线图会趋于一条光滑曲
线,统计中称这条光滑的曲线为总体密度曲线.
3.频率分布与总体分布
⑴总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的
百分比,它能给我们提供更加精细的信息,总体在
某一区间取值的百分比就是该区间与该曲线所夹
的曲边梯形的面积,例如上图中阴影部分的面积就
是总体在区间
( , )a b
内取值的百分比.
⑵总体密度曲线通常都是利用样本的频率分布估
计出来的,这是因为:
①并非所有的总体都存在密度曲线,如一些离散型
总体;
②尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但一般很
难像函数图象那样被准确地画出来,我们只能用样
本的频率分布对它进行估计,一般说来,样本容量
越大,这种估计就越精确.
例题1在一小时内统计一传呼台接收到用户的
呼唤次数,按每分钟统计如下:
0 0 1 2 1 2 2 3 4 1
0 1 2 5 3 1 2 2 2 4
2 4 3 1 1 3 2 3 4 6
1 2 0 2 3 1 3 1 4 1
1 2 0 2 3 4 2 5 0 2
1 1 0 3 2 1 3 1 2 0
写出一分钟内传呼呼唤次数的频率分布表,并
画出频率分布图.
【解析】 一分钟传呼呼唤次数的频率分布表
及频率分布直方图如下图所示:
一分钟内呼唤次数 频数 频率
0 8 0.133
1 16 0.267
2 17 0.283
3 10 0.167
4 6 0.100
5 2 0.033
6 1 0.017
总计
60 1.000
【规律技巧总结】在画频率分布直方图的过程
中,一定要合理分组,确定恰当的组距严格按步骤
画出频率分布直方图.
精彩反思
1.频率分布直方图和折线图的优缺点:
⑴优点:直方图直观,能以面积的形式反映数据
落在各小组的频率的大小;折线图能直观地反映数
据的变化趋势.
⑵缺点:不精确,没有保留原始数据.
2.在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相
应各组的频率,所有小矩形的面积和为1.
【自我测评】
1.对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关
系,下列说法中正确的是( )
A.频率分布直方图与总体密度曲线无关
B.频率分布直方图就是总体密度曲线
C.样本容量很大的频率直方图就是总体密度曲线
D.如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,
那么相应的频率折线图会越来越接近一条光滑曲
线,则这条光滑曲线为总体密度密线
2.在频率分布直方图中,中位数两侧的面积的比为
( )
A.1︰3 B.2︰1 C.1︰1 D.不确定
3.下列是容量为100的样本的频率分布直方图,试根
据图形中的数据填空:
⑴样本数据落在范围
[6,10)
内的频率为
____
;
⑵样本数据落在范围
[10,14)
内的频率为
____
;
⑶总体在范围
[2,6)
内的概率为
____
.
【拓展迁移】
思维提升
4.某班50名学生在一
次百米测试中,成绩介
于13秒与19秒之间,将
测试结果按下列方式
分成六组:第一组,成
绩大于等于13秒且小
于14秒;第二组,成绩
大于等于14秒且小于
15秒;…;第六组,成
绩大于等于18秒且小于19秒.右图是按上述方法分
组得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生
人数占全班总人数的百分比为
x
,成绩大于等于15
秒且小于17秒的学生人数为
y
,则从右图的频率分
布直方图中可分析出
x
和
y
分别为( )
A.0.9,35 B.0.9,45
C.0.1,35 D.0.1,45
5.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单
位:厘米),数据绘制成频率分布直方图(如图).由
图中数据可知
____a
.若
要从身高在
[120,130),[130,140),[140,150)
三组内的学生
中,用分层抽样
的方法选取18人参加一项活动,则从身高在
[140,150)
内的学生中选取的人数为
______
.
6.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛,成绩
的分组及各组的频率如下(单位:分):
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;
[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8;
⑴列出样本的频率分布表(含累积频率);
⑵画出频率分布直方图;
⑶估计成绩在
[60,90)
的学生比例;
⑷估计成绩在85分以下的学生比例.
视野拓展
纪塔娜女神的智慧
在非洲流传一个古老的神话:一个酋长要分给
纪塔娜女神一块土地,这块土地可以用一张灰鼠皮
围起来,酋长十分得意,他认为'一张灰鼠皮本来就
很小,用它能围出多大一块土地?
纪塔娜女神接过鼠皮后,把它剪成很细的皮条
连成一条长皮绳,她用皮绳靠海岸线围成一块很大
的半圆形土地,结果分得一块很大的土地,酋长连
呼吃亏.
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