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解析几何23-mathtype.pdf
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解析几何23-mathtype.pdf
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专题一直线与圆
知识导引
1.内容概要
直线与圆是初中平面几何的重要研究对象,也是高中解析几何起始阶段的重要内容.
通过引入坐标系,建立直线与圆的方程,进而用代数的方法研究几何位置关系,并依据
直线方程、圆的方程讨论其性质,体现形与数的结合.其内容结构如下:
2.圆的切线方程,切点弦方程
已知圆
2 2 2
: ( ) ( ) ( 0)C x a y b r r
及点
0 0
,P x y
,
(1)若点
0 0
,P x y
在圆
C
上,则过点
0 0
,P x y
的切线方程:
2
0 0
x a x a y b y b r
.
(2)若点
0 0
,P x y
在圆
C
外,则过点
0 0
,P x y
作圆的两条切线,切点分别为
,A B
,则切点
弦
AB
的方程:
2
0 0
x a x a y b y b r
.
3.阿波罗尼斯圆
在平面上给定两点
,A B
,设点
P
在同一平面上且满足
PA
PB
,当
0
且
1
时,点
P
的轨迹是圆,称为阿波罗尼斯圆(
1
时点
P
的轨迹是线段
AB
的中垂线),其中阿
波罗尼斯圆的直径为
2
2
1
a
.
进阶提升
题目 1
直线
2
1 1 0x a y
的倾斜角的取值范围是( )
A.
0,
4
B.
3
,
4
C.
0, ,
4 2
D.
3
, ,
4 2 4
审题由直线的倾斜角
和斜率的关系
tank
,即可得到倾斜角
的范围.
解析因为直线的斜率
2
1
1
k
a
,所以
1 0k
,则倾斜角的范围是
3
,
4
.故选
B
.
回炉直线的斜率是倾斜角的数量化表现形式,解题时要会运用正切函数的图象求角
的范围。
【相似题 1】
直线
2 cos 3 0 ,
6 3
x y
的倾斜角的变化范围是( )
A.
,
6 3
B.
,
4 3
C.
,
4 2
D.
2
,
4 3
题目 2
设
mR
,过定点
A
的动直线
0x my
和过定点
B
的动直线
3 0mx y m
交于点
,P x y
(点
P
与点
,A B
不重合),则
PAB
面积的最大值是( )
A.
2 5
B.5 C.
5
2
D.
5
审题由已知可知,直线
0x my
与
3 0mx y m
分别过定点
0,0 , 1,3A B
,且相
互垂直,即知点
,P x y
在以
AB
为直径的圆上,可构建等量关系 .
解析动直线
0x my
,令
0y
,解得
0x
,因此此直线过定点
0,0A .
动直线
3 0mx y m
,即
1 3 0m x y
,令
1 0,3 0x y
,解得
1, 3x y
, 因
此此直线过定点
1,3B
.
当
0m
时,两条直线分别为
0, 3x y
,交点
1 3
0,3 , 1 3
2 2
PAB
P S
;
当
0m
时,两条直线的斜率分别
1
, m
m
,因此两条直线相互垂直.
设
,PA a PB b
.
因为
2 2
1 3 10AB
,所以
2 2
10a b
.
因为
2 2
2a b ab
,所以
5ab
,当且仅当
5a b
时等号成立.
所以
1 1 5
2 2 2
PAB
S PA PB ab
.
综上,
PAB
的面积最大值是
5
2
.故选 C.
回炉本题依据两条直线的位置关系发现
2 2 2
| | | |PA BP AB
,再利用基本不等式求解.
对于含参直线方程,善于“动中寻定”,发现其过定点的几何特性.
【相似题 2】
已知直线
1
: 3 1 0l mx y m
与直线
2
: 3 1 0l x my m
相交于点
P
,线段
AB
是圆
2 2
: ( 1) ( 1) 4C x y
上一条动弦 ,且
2 3AB
,则
PA PB
的最大值为( )
A.
3 2
B.
8 2
C.
5 2
D.
8 2 2
题目 3
(多选题)设圆
2 2
2 2 2 0x y x y
的圆心为点
C
,直线
l
过点
0,3
且与圆
C
交于
,A B
两点,且
2 3AB
,则直线
l
的方程是( )
A.
4 3 9 0x y
B.
3 4 12 0x y
C.
0x
D.
4 3 9 0x y
审题记圆心
C
到直线
l
的距离为
d
,由垂径定理可得
2
2
1
2
AB
d r
,然后对直
线
l
的斜率是否存在进行分类讨论,求得直线
l
的方程.
解析圆
C
的标准方程为
2 2
( 1) ( 1) 4x y
,圆心为点
1,1C
,半径为
2r
,
因为
2 3AB
,所以,圆心
C
到直线
l
的距离为
2
2
1
2
AB
d r
.
①当直线
l
的斜率存在时,设直线
l
的方程为
3y kx
,即
3 0kx y
,圆心
C
到直线
l
的距离为
2
2
1
1
k
d
k
,解得
3
4
k
,
此时,直线
l
的方程为
3
3
4
y x
,即
3 4 12 0x y
;
②当直线
l
的斜率不存在时,直线
l
的方程为
0x
,此时圆心
C
到直线
l
的距离为
1d
,
合乎题意.
综上所述,直线
l
的方程为
0x
或
3 4 12 0x y
.故选
BC
.
回炉本题容易忽略直线斜率不存在的情况,漏掉
0x
,导致误选 A.利用直线与圆的位
置关系确定直线的方程,若用点斜式或斜截式设直线方程,则要先判断斜率是否存在,
若斜率有可能不存在,则要分两种情况讨论.
【相似题 3】
已知过点
3,0P
的直线与圆
2 2
: ( 2) ( 1) 4C x y
交于
,A B
两点(点
A
在
x
轴上方).
若
3BP PA
,直线
AB
的斜率为________.
题目 4
直线
2 0mx y m R
与圆
2 2
: 2 1 0C x y y
相交于
,A B
两点,弦长
AB
的
最小值为 ________; 若
ABC
的面积为
3
2
,则
m
的值为 ________.
审题直线
2 0mx y m R
过定点
0,2D
,当弦长
AB
最小时,弦心距
d
最大,此
时
max
;d CD ABC
的面积为
3
2
,即可表示为
2 2
1 1
2
2 2
ABC
S d AB d r d
,于是
求出
m
的值.
解析直线
2 0mx y
过定点
0,2D
,圆方程化为
2 2
( 1) 2x y
, 可知圆心
(0C
,1),
半径
2r
,
直线与圆心的弦心距
1d CD
,
故弦长
2 2
2 2 2 1 2AB r d
,即
min
| | 2AB
;
面积
2
1 3
sin sin
2 2 3
ABC
S r C C C
或
2
3
,
弦心距
2 6
cos 1
2 2 2
C
d r
与
1d
矛盾,舍去
)
,
此 处 可 直 接 由
2 2 2
1 1 3
2 2
2 2 2
ABC
S d AB d r d d d
, 解 得
2
cos
2 2
C
d r
(
6
1
2
舍去
)
,另一方面,
2
0 1 2
2
2
1
d
m
,解得
1m
.
回炉对于圆中的弦长或面积问题,通常转化为弦心距问题,由半径
r
、弦心距
d
与半
弦长
m
所满足的关系
2 2 2
r m d
,求出相应的量.
【相似题 4】
已 知 直 线
: 0l ax by c
被 圆
2 2
: 16C x y
截 得 的 弦 的 中 点 为
M
. 若
3 2 0,a b c O
为 坐标原点,则点
M
的轨迹方程为________,
OM
的 最大值为
________.
题目 5
已 知 圆
2 2
: 1O x y
上 存 在 点
P
, 直 线
: 4 0l kx y
上 存 在 点
Q
, 使 得
6
PQO
,则实数
k
的取值范围是( )
A.
3, 3
B.
, 3 3,
C.
2, 2
D.
, 2 2,
审题对于题中的动点
,P Q
,考虑先固定点
Q
,要
6
PQO
,只需
PQ
与圆相切时
6
PQO
,于是
2OQ
,只需原点到直线距离
d
2 即可.
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