样条插值函数与应用.pdf

样条插值函数与应用 1. 样条插值函数简介： 样条插值函数是一种特殊的插值函数，顾名思义，它可以生成光滑的曲线，满足实际问题中对插值函数的光滑性要求。样条插值函数可以用于解决实际问题中遇到的许多函数的光滑性问题，如飞机机翼外形、发动机进、排气口等。 2. 三次样条函数的定义： 三次样条函数是指在区间[a,b]上取n+1个节点a=x0<x1<x2<...<xn=b，函数y=f(x)在各个节点处的函数值为yi=f(xi),i=0,1,...,n，满足以下条件： (1) S(xi)=yi,i=0,1,...,n; (2) 在区间[a,b]上，S(x)具有连续的二阶导数; 三次样条函数可以同时解决插值函数的光滑性问题和低阶分段函数问题，使插值函数既是低阶分段函数，又是光滑的函数，并且只需在区间端点提供某些导数信息。 3. 样条插值函数的应用： 样条插值函数的应用非常广泛，例如在航空、造船、汽车等行业中，样条函数可以用于飞机机翼外形、发动机进、排气口等设计。在统计数据处理方面，样条函数可以用于数据拟合和插值。在计算机图形学中，样条函数可以用于曲面设计和生成。 4. 插值法的基本思想： 插值法的基本思想是根据已有的函数值来构建一个简单的函数y(x)作为f(x)的近似表达式，然后用y(x)来计算新的点上的函数值作为f(x)的近似值。通常可以选多项式函数作为近似函数y(x)，因为多项式具有各阶导数，求值也较方便。 5. Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值和样条插值： Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值和样条插值是四种常用的插值方法。Lagrange 插值法是通过构建一系列多项式来近似函数，Newton 插值法是通过构建一系列多项式来近似函数，并且考虑了函数的导数，Hermite 插值法是通过构建一系列多项式来近似函数，并且考虑了函数的导数和二阶导数，样条插值法是通过构建一系列光滑的曲线来近似函数。 6. 样条函数的发展历史： 样条函数的发展历史可以追溯到上世纪四十年代，Schoenberg 引入了样条函数的概念。从六十年代起，在航空、造船、汽车等行业中，开始大量采用样条函数。在我国，从六十年代末开始，从船体数学放样到飞机外形设计，逐渐出现了一个使用样条函数的热潮，并推广到数据处理的许多问题中。