常用的巧算和速算方法
【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯(德国)小时候就做过的“百数求和”题,可以计算为
1 + 2 + …… + 99 + 100
所以,1+2+3+4+……+99+100
=101×100÷2
=5050。
“3+5+7+………+97+99=?
3+5+7+……+97+99=(99+3)×49÷2= 2499。
这种算法的思路,见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建利用这一思路巧
妙地解答了“有女不善织”这一名题:
“今有女子不善织,日减功,迟。初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫。问织几何?”
题目的意思是:有位妇女不善于织布,她每天织的布都比上一天减少一些,并且减少的数量
都相等。她第一天织了 5 尺布,最后一天织了 1 尺,一共织了 30 天。问她一共织了多少
布?
张丘建在《算经》上给出的解法是:
“并初末日织尺数,半之,余以乘织讫日数,即得。”“答曰:二匹一丈”。
这一解法,用现代的算式表达,就是
1 匹=4 丈,1 丈=10 尺,
90 尺=9 丈=2 匹 1 丈。(答略)
张丘建这一解法的思路,据推测为:如果把这妇女从第一天直到第 30 天所织的布都加起来,
算式就是
5+…………+1
在这一算式中,每一个往后加的加数,都会比它前一个紧挨着它的加数,要递减一个相同的
数,而这一递减的数不会是个整数。若把这个式子反过来,则算式便是
1+………………+5
此时,每一个往后的加数,就都会比它前一个紧挨着它的加数,要递增一个相同的数。同样,
这一递增的相同的数,也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加,并在相加时,利用“对应的数相加和会相等”