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数列通项的十一种求法.pdf
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数列通项公式的十一种方法
知识概要
一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法:
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法(逐差法)、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、
数学归纳法、
不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、
特征根法
二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、
等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 .求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数
列。
四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。
五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1.适用于:
a
n1
a
n
f (n)
----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2.若
a
n1
a
n
f (n)
(n 2)
,
a
2
a
1
f (1)
则
a
3
a
2
f (2)
a
n1
a
n
f (n)
两边分别相加得
a
n1
a
1
f (n)
k 1
n
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,a
1
1
,求数列
{a
n
}
的通项公式。例 1 已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
a
n
2n 1
解:由
a
n1
a
n
2n 1
得
a
n1
a
n
2n 1
则
2
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
n
。
n
例 2 已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
a
n
2 3 1,a
1
3
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
n n
解法一:由
a
n1
a
n
2 3 1
得
a
n1
a
n
2 3 1
则
a
n
(a
n
a
n1
) (a
n1
a
n2
)
(2 3
n1
1) (2 3
n2
1)
2(3
n1
3
n2
n1
(a
3
a
2
) (a
2
a
1
) a
1
(2 3
2
1) (2 3
1
1) 3
n
所以
a
n
3 n 1.
3
2
3
1
) (n 1) 3
3(1 3 )
(n 1) 3
1 3
3
n
3 n 1 3
2
3
n
n 1
a a
n
f (n)
评注:已知
a
1
a
,
n1
,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函
数、分式函数,求通项
a
n
.
①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和;
③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。
例 3.已知数列
{a
n
}
中,
a
n
0
S
n
且
1 n
(a
n
)
2 a
n
,求数列
{a
n
}
的通项公式.
S
n
解:由已知
1 n
(a
n
)
2 a
n
S
n
得
1 n
(S
n
S
n1
)
2 S
n
S
n1
,
化简有
2 2
S
n
S
n1
n
,由类型(1)有
2
S
n
S
1
2
2 3 n
,
又
S
1
a
1
得
a
1
1
,所以
2
S
n
n(n 1)
s
n
2
,又
a
n
0
,
2n(n 1)
2
,
2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.
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则
a
n
2n(n 1) 2n(n 1)
2
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1.适用于:
a
n1
f (n)a
n
----------这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2.若
a
n1
a
a
f (n)
,则
2
f (1),
3
f (2),
a
n
a
1
a
2
a
,
n1
f (n)
a
n
n
a
n1
a
1
f (k)
两边分别相乘得,
a
1
k 1
n
例 4 已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
2(n 1)5 a
n
,a
1
3
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
解:因为
a
n1
2(n 1)5 a
n
,a
1
3
,所以
a
n
0
,则
a
n1
2(n 1)5
n
,故
a
n
a
n
a
n
a
n1
a
n1
a
n2
a
3
a
2
a
1
a
2
a
1
[2(2 1)5
2
][2(11)5
1
]3
21
[2(n 11)5
n1
][2(n 2 1)5
n2
]
2
n1
[n(n 1)
3 2
n1
3 2]5
(n1)(n2)
n!
n1
3
5
n(n1)
2
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
3 2 5
n(n1)
2
n!.
a
n1
a
n
0
(
n
=1,2, 3,…),
2 2
n 1 a na
a
n1 n
例 5.设
n
是首项为 1 的正项数列,且
则它的通项公式是
a
n
=________.
解:已知等式可化为:
(a
n1
a
n
)
(n 1)a
n1
na
n
0
*
a
n
0
(
n N
)
(n+1)
a
n1
na
n
0
, 即
a
n1
n
a
n
n 1
n 2
时,
a
n
n 1
a
n1
n
a
n
a
n
a
n1
a
2
a
1
n 1
n 2
1
1
1
a
n1
a
n2
a
1
n 1 2
=
n
.=
n
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评注:本题是关于
a
n
和
a
n1
的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到
a
n
与
a
n1
的更为明显的关系式,从而求出
a
n
.
练习.已知
a
n1
na
n
n 1, a
1
1
,求数列{an}的通项公式.
答案:
a
n
(n 1)!(a
1
1)
-1.
a
n1
na
n
n 1,
转化为评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式
a
n1
1 n(a
n
1),
出数列的通项公式.
若令
b
n
a
n
1
,则问题进一步转化为
b
n1
nb
n
形式,进而应用累乘法求
三、待定系数法 适用于
a
n1
qa
n
f (n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一
个函数。
1.形如
a
n1
ca
n
d, (c 0
,其中
a
1
a
)型
(1)若 c=1 时,数列{
a
n
a
n
}为等差数列;
(2)若 d=0 时,数列{ }为等比数列;
(3)若
c 1
且d
0
时,数列{
来求.
待定系数法:设
a
n
}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列
a
n1
c(a
n
)
,
得
a
n1
ca
n
(c 1)
,与题设
a
n1
ca
n
d,
比较系数得
(c 1)
d
,所以
d d d
, (c 0) a
n
c(a
n1
)
c 1 c 1 c 1
所以有:
d
d
a
n
a
1
c 1
构成以
c 1
为首项,以 c 为公比的等比数列,因此数列
所以
a
n
d d d d
(a
1
) c
n1
a
n
(a
1
) c
n1
c 1 c 1 c 1 c 1
.即:
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