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平面向量题型归纳上课讲义.pdf
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平面向量题型归纳上课讲义.pdf
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平面向量题型归纳
一.向量有关概念:【任何时候写向量时都要带箭头】
uuur
r
1.向量的概念:既有大小又有方向的量,记作:
AB
或
a
。注意向量和数量的区别。向量
常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。
r
uuur
例:已知 A(1,2),B(4,2),则把向量
AB
按向量
a
=(-1,3)平移后得到的向量是
uuur
r
2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:
| AB |
或
| a |
。
3.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作:
0
,注意零向量的方向是任意的;
r
uuur
r
4.单位向量:单位向量:长度为 1 的向量。若
e
是单位向量,则
| e | 1
。(与
AB
共线的单
uuur
AB
);
位向量是
uuur
| AB |
5.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
6.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量
a
、
b
叫做平行向量,记作:
a
∥
b
,规定零向量和任何向量平行。
提醒:∥相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
∥两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共
线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;
r
∥平行向量无传递性!(因为有
0
);
uuur uuur
AC
共线;
∥三点
A、B、C
共线
AB
、
如图,在平行四边形
ABCD
中,下列结论中正确的是 ( )
uuur uuur
uuur uuur uuur
A.
AB CD
B.
AB AD BD
uuur uuur uuur uuur uuur
AD AB AC AD BC 0
C. D.
uuur uuur
7.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a
的相反向量是-
a
、
AB BA
。
r r r r r r r r
r r r r
r r
例:下列命题:(1)若
a b
,则
a b
。(2)若
a b,b c
,则
a c
。(6)若
a // b,b // c
,
r r
uuur uuur uuur uuur
则
a // c
。(3)若
AB DC
,则
ABCD
是平行四边形。(4)若
ABCD
是平行四边形,则
AB DC
。
其中正确的是_______
题型 1、基本概念
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1:给出下列命题:
r
r r
r
∥若|
a
|=|
b
|,则
a
=
b
;∥向量可以比较大小;∥方向不相同的两个向量一定不平行;
r
r
r
r r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
∥若
a
=
b
,
b
=
c
,则
a
=
c
;∥若
a
//
b
,
b
//
c
,则
a
//
c
;∥
0 a 0
;∥
0 a 0
;
其中正确的序号是 。
2、基本概念判断正误:(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。
(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。
(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。
uuur uuur
(4)四边形 ABCD 是平行四边形的条件是
AB CD
。
uuur uuur
(5)若
AB CD
,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。
(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。
r r r r r r
(7)若
a
与
b
共线,
b
与
c
共线,则
a
与
c
共线。
r r
r r r r
(8)若
ma mb
,则
a b
。 (9)若
ma na
,则
m n
。
r r r r
(10)若
a
与
b
不共线,则
a
与
b
都不是零向量。
r r r r
r r r r r r r r
(11)若
a b | a | | b |
,则
a / /b
。 (12)若
| a b || a b |
,则
a b
。
二、向量加减运算
8.三角形法则:
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
AB BC AC
;
AB BC CD DE AE
;
AB AC CB
(指向被减数)
9.平行四边形法则:
r r r r
r r
以
a, b
为临边的平行四边形的两条对角线分别为
a b
,
a b
。
题型 2.向量的加减运算
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uuur uuur uuur uuur uuuur
1、化简
( AB MB) (BO BC ) OM
。
uuur
uuur uuur
2、已知
| OA | 5
,
| OB | 3
,则
| AB |
的最大值和最小值分别为 、 。
uuur uuur uuur uuur
3、在平行四边形
ABCD
中,若
AB AD AB AD
,则必有 ( )
uuur r
uuur r uuur r
A.
AD 0
B.
AB 0
或
AD 0
C.
ABCD
是矩形 D.
ABCD
是正方形
题型 3.向量的数乘运算
r r r r
r r r r
r r
1、计算:(1)
3(a b) 2(a b)
(2)
2(2a 5b 3c ) 3(2a 3b 2c )
题型 4.作图法求向量的和
r
1
r r
3
r
r r
1、已知向量
a,b
,如下图,请做出向量
3a b
和
2a b
。
2 2
r
a
r
b
题型 5.根据图形由已知向量求未知向量
uuur uuur
uuur
AC
表示
AD
。1、已知在
ABC
中,
D
是
BC
的中点,请用向量
AB,
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uuur uuur
uuur
r
uuur
r
2、在平行四边形
ABCD
中,已知
AC a, BD b
,求
AB和AD
。
题型 6.向量的坐标运算
r
r
1
r
r
1、已知
a (1, 4),b (3,8)
,则
3a b
。
2
r r r
练习:若物体受三个力
F ,2)
,
F
2
(2,3)
,
F
3
(1, 4)
,则合力的坐标为 。
1
(1
uuur
2、已知
PQ (3,5)
,
P(3,7)
,则点
Q
的坐标是 。
r
r
r
r
r
r
r
r
3、.已知
a (3,4)
,
b (5,2)
,求
a b
,
a b
,
3a 2b
。
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uuur
r
2、已知
A(1,2),B(3,2)
,向量
a (x 2, x 3y 2)
与
AB
相等,求
x, y
的值。
uuur
uuur uuur
r
5、已知
O
是坐标原点,
A(2, 1),B(4,8)
,且
AB 3BC 0
,求
OC
的坐标。
三.平面向量的基本定理:如果 e
1
和 e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内
的任一向量 a,有且只有一对实数
1
、
2
,使 a=
1
e
1
+
2
e
2
。
基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。
题型 7.判断两个向量能否作为一组基底
ur uur
1、已知
e
1
, e
2
是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:
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