常用的一些矢量运算公式.pdf

"矢量运算公式" 矢量运算是数学和物理学中重要的一部分，涉及到矢量的加法、减法、数乘、点积、叉积等运算。在这里，我们将总结一些常用的矢量运算公式。 1. 三重标量积 设a、b和c是三个矢量，则它们的三重标量积定义为a×b·c。这个式子等于这三个矢量所组成的平行六面体的体积。 在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量记为i、j、k，令三个矢量的分量记为a(a1,a2,a3)、b(b1,b2,b3)及c(c1,c2,c3)，则有： a×b·c = a1a2a3 (b1b2b3)·c1c2c3 = a1a2a3·c1c2c3 (b1b2b3) 因此，三重标量积具有以下关系式： (a×b)·c = (b×c)·a = (c×a)·b 这就是说，不改变三个矢量的顺序，三重标量积的结果相等。 2. 三重矢量积 设a、b和c是三个矢量，则它们的三重矢量积定义为a×(b×c)。这个式子等于a×(b×c) = -a×(c×b) = (c×b)×a。 这就意味着，改变中间矢量的顺序，三重矢量积的符号才改变。 三重矢量积还有一个重要的性质： a×(b×c) = -a·(b×c) + a·c b (a×b)×c = -a·(b×c) + b·(a×c) 3. 算子 设a是一个矢量，∇是一个算子，则： ∇×a = -a×∇ = -∇×a (a×∇)b = -a·(∇×b) + a·∇ b (a·∇)b = a·∇ b - a×(∇×b) ∇(a·b) = a·∇ b + b·∇ a 这些公式是矢量运算的基础，可以应用于各种物理和工程问题中。 4. 算子的应用 设a是一个矢量，∇是一个算子，则： ∇a = ∇·a + ∇×a ∇·(a×b) = a·(∇×b) - b·(∇×a) ∇×(a×b) = a·(∇·b) - b·(∇·a) 这些公式可以应用于各种物理和工程问题中。 5. 在正交曲线坐标系中的矢量运算 在正交曲线坐标系中，矢量运算可以用以下公式表示： ∇φ = e1 ∂φ/∂ξ1 + e2 ∂φ/∂ξ2 + e3 ∂φ/∂ξ3 ∇·a = h1h2h3 (∂(h2h3a1)/∂ξ1 + ∂(h3h1a2)/∂ξ2 + ∂(h1h2a3)/∂ξ3) ∇×a = e1/h2h3 (∂(h2a2)/∂ξ2 - ∂(h3a3)/∂ξ3) + e2/h3h1 (∂(h3a3)/∂ξ3 - ∂(h1a1)/∂ξ1) + e3/h1h2 (∂(h1a1)/∂ξ1 - ∂(h2a2)/∂ξ2) 这些公式可以应用于各种物理和工程问题中。 矢量运算是数学和物理学中重要的一部分，涉及到矢量的加法、减法、数乘、点积、叉积等运算。掌握这些公式是解决各种物理和工程问题的基础。