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实数的大小比较的常用方法
一、法则法
比较实数大小的法则是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而
小。
例 1 比较
与
5
的大小。
析解:由于
| | ,| 5 | 5
,且
5
,所以
5
。
说明:利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正
数进行比较。
二、平方法
2 2
用平方法比较实数大小的依据是:对任意正实数 a、b 有:
a b a b
。
例 2 比较
3 7
与
7 3
的大小。
2 2
(3 7 ) 63, (7 3) 147
,而
63 147
,所以
3 7 7 3
。析解:由于
说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的
是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。
三、数形结合方法
用数形结合法比较实数大小的理论依据是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表
示的数大。
例 3 若有理数 a、b、c 对应的点在数轴上的位置如图 1 所示,试比较 a、-a、b、-b、c、
-c 的大小。
析解:如图 2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数 a、-a、b、-b、c、-c 表示的点画
出来,容易得到结论:
c b a a b c.
四、作差法:
差值比较法的基本思路是设 a,b 为任意两个实数,先求出 a 与 b 的差,再根据
当 a-b﹥0 时,得到 a﹥b。
当 a-b﹤0 时,得到 a﹤b。
当 a-b=0,得到 a=b。
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