MIT牛人解说数学体系.pdf
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2023-05-23
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MIT 牛人解说数学体系
在过去的一年中，我一直在数学的海洋中游荡，research 进展不多，对于数学世界的阅历
算是有了一些长进。
为什么要深入数学的世界
作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要
想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，
我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅
程。我的导师最初希望我去做的题目，是对 appearance和 motion 建立一个unified 的 model。
这个题目在当今 Computer
Vision 中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical
Model 把各种东西联合在一起 framework，在近年的论文中并不少见。
我不否认现在广泛流行的 Graphical
Model 是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是 panacea，并不能取代对于所研
究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多
“下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision 中很多人
一样，想着去做一个 Graphical
Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过
很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个
图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视过程。微
观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的
联系——这需要我们去发掘。
在深入探索这个题目的过程中，遇到了很多很多的问题，如何描述一个一般的运动过程，如
何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达，如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系，还有
很多。在这个过程中，我发现了两个事情：
我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。
在数学中，有很多思想和工具，是非常适合解决这些问题的，只是没有被很多的应用科学
的研究者重视。
于是，我决心开始深入数学这个浩瀚大海，希望在我再次走出来的时候，我已经有了更强大
的武器去面对这些问题的挑战。
我的游历并没有结束，我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。在这里，
我只是说说，在我的眼中，数学如何一步步从初级向高级发展，更高级别的数学对于具体应
用究竟有何好处。
集合论：现代数学的共同基础
现代数学有数不清的分支，但是，它们都有一个共同的基础——集合论——因为
它，数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念：集合(set)，关
系(relation)，函数(function)，等价
(equivalence)，是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解，
是进一步学些别的数学的基础。我相信，理工科大学生对于
这些都不会陌生。
不过，有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理” (Axiom of
Choice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出一个元
素。”——似乎是显然得不能再显然的命题。不过，这个貌似平常
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